Die Poincaré-Vermutung ist eine Frage über Sphären in der Mathematik. Sie ist nach Henri Poincaré benannt, dem französischen Mathematiker und Physiker, der sie 1904 formulierte.
Die Kugel (auch als 2-Kugel bezeichnet, da es sich um eine 2-dimensionale Fläche handelt, obwohl sie normalerweise als innerhalb eines dreidimensionalen Raumes gesehen wird) hat die Eigenschaft, dass jede Schleife auf ihr zu einem Punkt zusammengezogen werden kann (wenn ein Gummiband um die Kugel gewickelt wird, ist es möglich, sie bis zu einem Punkt nach unten zu schieben). Mathematiker sagen, dass die 2-Kugel einfach verbunden ist. Andere Räume haben diese Eigenschaft nicht, zum Beispiel der Donut: Ein Gummiband, das einmal um den ganzen Donut gewickelt ist, kann nicht bis zu einem Punkt heruntergeschoben werden, ohne dass es die Oberfläche verlässt.
Die Mathematiker wussten, dass diese Eigenschaft einzigartig für die 2-Sphäre ist, in dem Sinne, dass jeder andere einfach verbundene Raum, der keine Kanten hat und klein genug ist (in mathematischen Begriffen, also kompakt), tatsächlich die 2-Sphäre ist. Es stimmt jedoch nicht mehr, wenn wir die Idee der Kleinheit entfernen, da auch eine unendlich große Fläche einfach verbunden ist. Auch eine regelmäßige Scheibe (ein Kreis und sein Inneres) ist einfach verbunden, aber sie hat eine Kante (den begrenzenden Kreis).
Die Vermutung stellt die Frage, ob dies auch für die 3-Kugel gilt, die ein natürlich in vier Dimensionen lebendes Objekt ist. Diese Frage motivierte einen Großteil der modernen Mathematik, insbesondere auf dem Gebiet der Topologie. Die Frage wurde schließlich im Jahr 2002 von Grigori Perelman, einem russischen Mathematiker, mit Methoden aus der Geometrie geklärt, die zeigten, dass sie tatsächlich wahr ist. Er erhielt für seine Arbeit eine Fields-Medaille und den mit 1 Million Dollar dotierten Millenniumspreis, die er beide ablehnte.
Die Poincaré-Vermutung kann auch auf höhere Dimensionen ausgedehnt werden: Dies ist die verallgemeinerte Poincaré-Vermutung. Überraschenderweise war es einfacher, die Tatsache für höherdimensionale Sphären zu beweisen: 1960 bewies Smale, dass sie für die 5-Sphäre, 6-Sphäre und höher zutrifft. Freedman bewies 1982, dass dies auch für die 4-Kugel zutraf, wofür er eine Fields-Medaille erhielt.