Wahrscheinlichkeitsraum
Der Wahrscheinlichkeitsraum ist ein mathematisches Modell, das zur Beschreibung wissenschaftlicher Experimente verwendet wird Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus drei Teilen:
- Ein Beispielraum, der alle möglichen Ergebnisse auflistet
- Eine Reihe von Ereignissen. Mit jedem Ereignis sind null oder mehr Ergebnisse verbunden.
- Eine Funktion, die jedem Ereignis Wahrscheinlichkeiten zuordnet
Ein Ergebnis ist das Ergebnis einer einzigen Ausführung des Modells. Da einzelne Ergebnisse von geringem praktischen Nutzen sein können, werden komplexere Ereignisse verwendet, um Gruppen von Ergebnissen zu charakterisieren. Die Sammlung all dieser Ereignisse ist eine σ-Algebra F {\Darstellungsstil \Skriptstil {\Mathematik {\F}}}}. 
. Schließlich ist es notwendig, die Wahrscheinlichkeit des Eintretens jedes Ereignisses zu spezifizieren. Dies geschieht mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsmaßfunktion P.
Sobald der Wahrscheinlichkeitsraum festgelegt ist, wird angenommen, dass die "Natur" ihren Zug macht und ein einziges Ergebnis, ω, aus dem Probenraum Ω auswählt. Es wird gesagt, dass alle Ereignisse in F {\darstellungsstil \scriptstyle {\mathcal {F}}}}, die das ausgewählte Ergebnis ω (zur Erinnerung, dass jedes Ereignis eine Untermenge von Ω ist) enthalten, "eingetreten sind". Die von der Natur vorgenommene Auswahl erfolgt so, dass, wenn das Experiment unendlich oft wiederholt würde, die relativen Häufigkeiten des Auftretens jedes der Ereignisse mit den durch die Funktion P vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten übereinstimmen würden.
Der prominente sowjetische Mathematiker Andrej Kolmogorow führte den Begriff des Wahrscheinlichkeitsraums zusammen mit anderen Axiomen der Wahrscheinlichkeit in den 1930er Jahren ein.
Modellierung eines Glücksrads unter Verwendung des Wahrscheinlichkeitsraums
Fragen und Antworten
F: Was ist ein Wahrscheinlichkeitsraum?
A: Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein mathematisches Modell, das zur Beschreibung wissenschaftlicher Experimente verwendet wird. Es besteht aus drei Teilen: einem Stichprobenraum, in dem alle möglichen Ergebnisse aufgelistet sind, einer Menge von Ereignissen, die mit null oder mehr Ergebnissen verbunden sind, und einer Funktion, die jedem Ereignis Wahrscheinlichkeiten zuweist.
F: Woraus besteht der Stichprobenraum?
A: Der Stichprobenraum besteht aus allen möglichen Ergebnissen, oft geschrieben als Ω {\displaystyle \Omega } und ein Ergebnis als ω {\displaystyle \omega } .
F: Was ist ein Ergebnis?
A: Ein Ergebnis ist das Resultat einer einzelnen Ausführung des Modells.
F: Wofür werden Ereignisse in Wahrscheinlichkeitsräumen verwendet?
A: Ereignisse werden verwendet, um Gruppen von Ergebnissen zu charakterisieren, da einzelne Ergebnisse von geringem praktischen Nutzen sein können. Die Sammlung aller solcher Ereignisse wird als σ-Algebra bezeichnet, manchmal auch als F {\displaystyle {\mathcal {F}} geschrieben.
F: Wie werden den einzelnen Ereignissen Wahrscheinlichkeiten zugewiesen?
A: Wahrscheinlichkeiten werden jedem Ereignis mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsmaßfunktion P zugewiesen.
F: Wer hat den Begriff der Wahrscheinlichkeitsräume eingeführt? A: Der bekannte sowjetische Mathematiker Andrej Kolmogorow führte den Begriff der Wahrscheinlichkeitsräume zusammen mit anderen Axiomen der Wahrscheinlichkeit in den 1930er Jahren ein.
