In der Mathematik ist ein Einheitskreis ein Kreis mit einem Radius von 1, zentriert im Ursprung der kartesischen Koordinaten (0,0). Die Gleichung des Einheitskreises lautet x 2 + y 2 = 1 {\darstellungsstil x^{2}+y^{2}=1}{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}. Diese Gleichung ergibt sich direkt aus der Distanzformel: der Abstand eines Punktes (x,y) vom Ursprung ist sqrt(x²+y²); für den Einheitskreis muss dieser Abstand 1 sein, also x² + y² = 1.

Parametrisierung und trigonometrische Zusammenhänge

Jeder Punkt auf dem Einheitskreis lässt sich durch einen Winkel φ (gemessen gegen den Uhrzeigersinn ab der positiven x-Achse) darstellen mit der Parametrisierung

  • x = cos φ
  • y = sin φ

Aus dieser Darstellung folgt unmittelbar die trigonometrische Identität cos²φ + sin²φ = 1. Umgekehrt liefert für einen Punkt (x,y) auf dem Kreis der Ausdruck φ = atan2(y,x) den zugehörigen Winkel. Die Ableitungen nach φ sind dx/dφ = -sin φ und dy/dφ = cos φ; der Tangentialvektor ist damit (-sin φ, cos φ) und steht senkrecht zum Radius (cos φ, sin φ).

Geometrische Eigenschaften

  • Umfang: 2π (da Umfang = 2πr und r = 1).
  • Fläche der Kreisfläche: π (A = πr², mit r = 1).
  • Symmetrien: Spiegelungen an x- und y-Achse sowie Drehungen um den Ursprung (Rotationen) erhalten den Einheitskreis.
  • Tangente: Die Tangente im Punkt (cos φ, sin φ) ist orthogonal zum Radius und hat die Steigung -cot φ (sofern sin φ ≠ 0).
  • Bogenlänge: Zwischen zwei Winkeln φ1 und φ2 beträgt die Bogenlänge s = |φ2 − φ1| (Radius 1 macht Winkelmaß gleich Bogenmaß).

Zusammenhang mit komplexen Zahlen und Rotation

Im Kontext der komplexen Zahlen entsprechen Punkte auf dem Einheitskreis den komplexen Zahlen mit Modul 1: z = cos φ + i sin φ = e^{iφ}. Multiplikation mit einer solchen Zahl entspricht einer Rotation um den Ursprung um den Winkel φ. Diese Eigenschaft ist zentral in vielen Anwendungen, etwa in der Signalverarbeitung und der Fourier-Analyse.

Rechnerische und algebraische Aspekte

  • Punkteprüfung: Ein Punkt (x,y) liegt genau dann auf dem Einheitskreis, wenn x² + y² = 1 erfüllt ist.
  • Schnitt mit einer Geraden: Um die Schnittpunkte einer Geraden y = mx + b mit dem Einheitskreis zu finden, setzt man x² + (mx + b)² = 1 und löst die entstehende quadratische Gleichung.
  • Rationale Parametrisierung: Mit t = tan(φ/2) erhält man eine rationale Parametrisierung aller Punkte (außer dem Punkt (-1,0) für t unendlich):
    • x = (1 − t²) / (1 + t²)
    • y = 2t / (1 + t²)
  • Diese Darstellung verknüpft den Einheitskreis mit Pythagoreischen Tripeln und liefert eine Methode, rationale Punkte auf dem Kreis zu erzeugen.

Anwendungen

  • Trigonometrie: Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und ihren Identitäten beruhen oft auf dem Einheitskreis.
  • Vektor- und Physik: Einheitsvektoren (Länge 1) werden häufig zur Richtungsdarstellung verwendet; Drehungen in der Ebene lassen sich einfach mit Einheitskreisen beschreiben.
  • Komplexe Zahlen: Darstellung von Phasen und Frequenzen; Multiplikation mit Einheitszahlen = Rotation.
  • Analysis: Parameterintegrale entlang des Kreises, Fourieranalyse und Untersuchung periodischer Funktionen.
  • Geometrie und Zahlentheorie: Untersuchung der rationalen Punkte, Verbindungen zu pythagoreischen Tripeln und Diophantischen Gleichungen.

Beispielpunkt: Für φ = π/4 (45°) erhält man (x,y) = (√2/2, √2/2). Eine einfache Prüfmethode für einen gegebenen Punkt ist immer die Berechnung von x² + y² — ist das Ergebnis 1, liegt der Punkt auf dem Einheitskreis.

Der Einheitskreis ist somit ein zentrales, einfaches und gleichzeitig sehr mächtiges Werkzeug in vielen Bereichen der Mathematik und ihrer Anwendungen.

Er wird auch oft in der Trigonometrie verwendet.