Trigonometrie

Die Trigonometrie (vom griechischen trigononon = drei Winkel und metron = Maß) ist ein Teil der Elementarmathematik, der sich mit Winkeln, Dreiecken und trigonometrischen Funktionen wie Sinus (abgekürzt sin), Kosinus (abgekürzt cos) und Tangens (abgekürzt tan) befasst. Sie hat eine gewisse Verbindung zur Geometrie, obwohl es Meinungsverschiedenheiten darüber gibt, was genau diese Verbindung ist; für einige ist die Trigonometrie nur ein Abschnitt der Geometrie.

Überblick und Definitionen

Die Trigonometrie verwendet eine große Anzahl spezifischer Wörter zur Beschreibung von Teilen eines Dreiecks. Einige der Definitionen in der Trigonometrie sind:

Rechtwinkliges Dreieck - Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem Winkel, der 90 Grad entspricht. (Ein Dreieck kann nicht mehr als einen rechten Winkel haben.) Die trigonometrischen Standardverhältnisse können nur bei rechtwinkligen Dreiecken verwendet werden.
Hypotenuse - Die Hypotenuse eines Dreiecks ist die längste Seite und die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Zum Beispiel ist die Hypotenuse für das Dreieck auf der rechten Seite die Seite c.
Gegenseite eines Winkels - Die gegenüberliegende Seite eines Winkels ist die Seite, die sich nicht mit dem Scheitelpunkt des Winkels schneidet. Zum Beispiel ist die Seite a das Gegenteil des Winkels A im Dreieck nach rechts.
Angrenzend an einen Winkel - Die angrenzende Seite eines Winkels ist die Seite, die den Scheitelpunkt des Winkels schneidet, aber nicht die Hypotenuse ist. Zum Beispiel ist die Seite b an den Winkel A im Dreieck rechts angrenzend.

Ein standardmäßiges rechtwinkliges Dreieck. C ist der rechte Winkel in diesem Bild

Trigonometrische Verhältnisse

Es gibt drei trigonometrische Hauptverhältnisse für rechtwinklige Dreiecke und drei Kehrwerte dieser Verhältnisse. Es gibt 6 Gesamtquotienten. Sie sind:

Sinus (sin) - Der Sinus eines Winkels ist gleich der umgekehrten Hypotenuse {\Darstellungsstil {\Text{\Gegenseite}} \über {\Text{Hypotenuse}}}} ${{\text{Opposite}} \over {\text{Hypotenuse}}}$
Kosinus (cos) - Der Kosinus eines Winkels ist gleich der benachbarten Hypotenuse {\darstellungsstil {{\text{Nebeneinander}} \über {\Text{Hypotenuse}}}} ${{\text{Adjacent}} \over {\text{Hypotenuse}}}$
Tangente (tan) - Die Tangente eines Winkels ist gleich dem gegenüberliegend benachbarten {\Anzeigestil {\Text{\Gegenseite}} \über {\Text{Nachbar}}}} ${{\text{Opposite}} \over {\text{Adjacent}}}$

Die Kehrwerte dieser Verhältnisse sind:

Kosekante (csc) - Die Kosekante eines Winkels ist gleich der Hypotenuse Gegenüber {\displaystyle {\text{Hypotenuse}} \über {\text{Opposite}}}} ${{\text{Hypotenuse}} \over {\text{Opposite}}}$ oder csc θ = 1 sin θ {\displaystyle \csc \theta ={1 \über \sin \theta }} $\csc \theta ={1 \over \sin \theta }$

Sekante (sec) - Die Sekante eines Winkels ist gleich der Hypotenuse Angrenzende {\Darstellungsstil {{\Text{Hypotenuse}} \über {\Text{Nebeneinander}}}} ${{\text{Hypotenuse}} \over {\text{Adjacent}}}$ oder sec θ = 1 cos θ {\displaystyle \sec \theta ={1 \über \cos \theta }} $\sec \theta ={1 \over \cos \theta }$

Kotangens (cot) - Der Kotangens eines Winkels ist gleich dem angrenzenden gegenüberliegenden {\Anzeigestil {\Text{Angrenzend}}. \über {\Text{Opposite}}}} ${{\text{Adjacent}} \over {\text{Opposite}}}$ oder Feldbett θ = 1 tan θ {\displaystyle \cot \theta ={1 \über \tan \theta }} $\cot \theta ={1 \over \tan \theta }$

Die Schülerinnen und Schüler verwenden oft eine Eselsbrücke, um sich an diese Beziehung zu erinnern. Die Sinus-, Kosinus- und Tangentenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck lassen sich erinnern, indem sie als Buchstabenfolgen dargestellt werden, z. B. SOH-CAH-TOA:

Sinus = Gegenstück ÷ Hypotenuse

Cosinus = Benachbart ÷ Hypotenuse

Tangente = gegenüberliegend ÷ benachbart

Verwendung der Trigonometrie

Mit den Sinus- und Kosinuswerten kann man praktisch alle Fragen zu Dreiecken beantworten. Dies wird als "Lösen" des Dreiecks bezeichnet. Man kann die restlichen Winkel und Seiten jedes Dreiecks berechnen, sobald zwei Seiten und ihr eingeschlossener Winkel oder zwei Winkel und eine Seite oder drei Seiten bekannt sind. Diese Gesetze sind in allen Zweigen der Geometrie nützlich, da jedes Polygon als eine Kombination von Dreiecken beschrieben werden kann.

Die Trigonometrie ist auch bei der Vermessung, der Vektoranalyse und der Untersuchung periodischer Funktionen von entscheidender Bedeutung.

Es gibt auch so etwas wie die sphärische Trigonometrie, die sich mit der sphärischen Geometrie befasst. Diese wird für Berechnungen in der Astronomie, Geodäsie und Navigation verwendet.

Gesetze der Trigonometrie

Sinusgesetz

a Sünde A = b Sünde B = c Sünde C {\Anzeigestil {\Text{a}} {\über {\text{Sin A}}={{\text{\b}} {\über {\text{Sin B}}={{\text{c}} \über {\Text{Sin C}}}} ${{\text{a}} \over {\text{Sin A}}}={{\text{b}} \over {\text{Sin B}}}={{\text{c}} \over {\text{Sin C}}}$

Kosinus-Gesetz

a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos ( A ) {\darstellungsstil a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(A)} $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(A)$

Tangentengesetz

a - b a + b = tan ( 1 2 ( A - B ) ) tan ( 1 2 ( A + B ) ) {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan({\frac {1}{2}}}(A-B))}{\tan({\frac {1}{2}}}(A+B))}} ${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan({\frac {1}{2}}(A-B))}{\tan({\frac {1}{2}}(A+B))}}$