Die Trigonometrie (vom griechischen trigononon = drei Winkel und metron = Maß) ist ein Teil der Elementarmathematik, der sich mit Winkeln, Dreiecken und trigonometrischen Funktionen wie Sinus (abgekürzt sin), Kosinus (abgekürzt cos) und Tangens (abgekürzt tan) befasst. Sie hat eine gewisse Verbindung zur Geometrie, obwohl es Meinungsverschiedenheiten darüber gibt, was genau diese Verbindung ist; für einige ist die Trigonometrie nur ein Abschnitt der Geometrie.

Grundbegriffe

Wichtige Begriffe der Trigonometrie sind:

  • Winkel (gemessen in Grad ° oder Radiant rad).
  • Dreiecke, besonders das rechtwinklige Dreieck, in dem eine Seite (die Hypotenuse) gegenüber dem rechten Winkel liegt.
  • Trigonometrische Funktionen wie sin, cos und tan, die Winkel mit Seitenverhältnissen oder Koordinaten verknüpfen.

Rechteckiges Dreieck: Definitionen von sin, cos und tan

In einem rechtwinkligen Dreieck mit einem Winkel α (außer dem 90°-Winkel) bezeichnet man:

  • Gegenkathete – die Seite gegenüber α
  • Ankathete – die Seite, die an α anliegt (nicht die Hypotenuse)
  • Hypotenuse – die längste Seite gegenüber dem rechten Winkel

Die grundlegenden Definitionen lauten:

  • sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse
  • cos(α) = Ankathete / Hypotenuse
  • tan(α) = Gegenkathete / Ankathete = sin(α) / cos(α)

Einheitskreis und allgemeine Definition

Auf dem Einheitskreis (Kreis mit Radius 1) mit Mittelpunkt im Ursprung entspricht ein Winkel t (im Bogenmaß) einem Punkt (cos t, sin t). Darin gelten:

  • Der x‑Wert = cos(t)
  • Der y‑Wert = sin(t)
  • tan(t) = sin(t) / cos(t), sofern cos(t) ≠ 0

Diese Sichtweise erweitert die Definitionen auf alle reellen Winkel (nicht nur auf Winkel in einem Dreieck).

Wichtige Eigenschaften und Identitäten

  • Pythagoreische Identität: sin²x + cos²x = 1
  • Periodizität: sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x
  • Symmetrien: sin(−x) = −sin x (ungerade), cos(−x) = cos x (gerade)
  • Additionsformeln: sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b; cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b
  • Reciprocal-Funktionen: csc x = 1/sin x, sec x = 1/cos x, cot x = 1/tan x

Werte bei speziellen Winkeln

Häufig verwendete Werte:

  • sin 0° = 0, cos 0° = 1
  • sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2
  • sin 45° = √2/2, cos 45° = √2/2
  • sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2
  • sin 90° = 1, cos 90° = 0

Umrechnung Grad ↔ Radiant

1 Umdrehung = 360° = 2π rad. Zur Umrechnung:

  • Radiant = Grad · π / 180
  • Grad = Radiant · 180 / π

Inverse Funktionen und Anwendungen

Die Umkehrfunktionen heißen arcsin, arccos und arctan. Sie geben zu einem gegebenen Funktionswert den zugehörigen Winkel zurück (z. B. α = arcsin(y) mit y = sin α).

Trigonometrie wird in vielen Bereichen angewendet, z. B.:

  • Vermessung und Navigation (Bestimmung von Entfernungen und Richtungen)
  • Physik (Schwingungen, Wellen, Kräftezerlegung)
  • Ingenieurwesen und Architektur (Tragwerksberechnung, Neigungswinkel)
  • Computergraphik (Rotationen, Projektionsberechnungen)

Gesetze zur Lösung beliebiger Dreiecke

Für nicht‑rechtwinklige Dreiecke sind besonders nützlich:

  • Sinussatz: a / sin α = b / sin β = c / sin γ (verwendbar, wenn Winkel gegenüber bekannten Seiten oder umgekehrt)
  • Kosinussatz: c² = a² + b² − 2ab cos γ (verwendbar, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind oder alle drei Seiten gegeben sind)

Kurze Beispiele

Beispiel 1 — rechtwinkliges Dreieck: Wenn die Hypotenuse 10 und die Gegenkathete zum Winkel α = 30° den Wert 5 hat, dann ist sin 30° = 5/10 = 1/2 (stimmt mit dem bekannten Wert).

Beispiel 2 — Einheitskreis: Für t = π/4 hat der Punkt Koordinaten (cos π/4, sin π/4) = (√2/2, √2/2).

Weiterführende Hinweise

In der weiterführenden Mathematik (Analysis) sind Ableitungen und Integrale trigonometrischer Funktionen zentral:

  • d/dx sin x = cos x
  • d/dx cos x = −sin x
  • d/dx tan x = 1 / cos²x = sec²x

Für ein fundiertes Verständnis lohnt sich das Üben mit vielen Beispielen (Winkelberechnungen, Umrechnungen, Anwenden von Formeln) und das Arbeiten auf dem Einheitskreis, weil er viele Zusammenhänge anschaulich macht.