Zenons Paradoxien der Vielheit

Achilles und die Schildkröte

Im Paradoxon von Achilles und der Schildkröte befindet sich Achilles in einem Wettlauf mit der Schildkröte. Achilles erlaubt der Schildkröte zum Beispiel einen Vorsprung von 100 Metern. Angenommen, jeder Läufer beginnt mit einer konstanten Geschwindigkeit zu laufen, einer sehr schnellen und einer sehr langsamen. Nach einer endlichen Zeit wird Achilles 100 Meter gelaufen sein und ihn zum Startpunkt der Schildkröte bringen. Während dieser Zeit ist die langsamere Schildkröte eine viel kürzere Strecke gelaufen. Achilles braucht dann noch einige Zeit, um diese Distanz zu laufen, bis die Schildkröte weiter vorgerückt ist. Es dauert dann noch länger, bis Achilles diesen dritten Punkt erreicht hat, während die Schildkröte wieder vorwärts läuft. Wenn Achilles also einen Punkt erreicht, an dem sich die Schildkröte bereits befunden hat, muss er noch weiter laufen. Da es also unendlich viele Punkte gibt, die Achilles erreichen muss, wo die Schildkröte bereits gewesen ist, kann er die Schildkröte niemals überholen.

Das Dichotomie-Paradoxon

Angenommen, jemand möchte von Punkt A nach Punkt B gelangen. Zunächst muss er sich auf halber Strecke bewegen. Dann muss er die Hälfte des verbleibenden Weges zurücklegen. Wenn man auf diese Weise weitergeht, bleibt immer noch eine kleine Strecke übrig, und das Ziel würde nie wirklich erreicht werden. Es wird immer eine weitere Zahl in einer Reihe wie 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + hinzuzufügen sein. Eine Bewegung von einem Punkt A zu einem anderen Punkt B wird ....also als Unmöglichkeit angesehen.

Kommentar

Hier liegt also das Paradoxon von Zeno: Beide Bilder der Wirklichkeit können nicht gleichzeitig wahr sein. Daher auch nicht: 1. Irgendwas stimmt nicht mit der Art und Weise, wie wir die kontinuierliche Natur der Zeit wahrnehmen, 2. in Wirklichkeit gibt es keine diskreten oder inkrementellen Zeitmengen, Entfernungen oder vielleicht irgendetwas anderes in dieser Hinsicht, oder 3. Es gibt ein drittes Bild der Wirklichkeit, das die beiden Bilder - das mathematische und das des gesunden Menschenverstands oder der Philosophie - vereint und für dessen vollständiges Verständnis wir noch nicht über die nötigen Werkzeuge verfügen.

Vorgeschlagene Lösungen

Nur wenige Menschen würden wetten, dass die Schildkröte das Rennen gegen einen Athleten gewinnen würde. Aber, was ist falsch an diesem Argument?

Wenn man beginnt, die Begriffe der Reihe 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + zu addieren....kann man feststellen, dass die Summe immer näher an 1 herankommt und nie über 1 hinausgehen wird. Aristoteles (der die Quelle für vieles von dem ist, was wir über Zeno wissen) bemerkte, dass mit abnehmender Entfernung (im Dichotomie-Paradoxon) die Zeit, die jede Entfernung zurückzulegen ist, immer kleiner und kleiner wird. Vor 212 v. Chr. hatte Archimedes eine Methode entwickelt, um eine endliche Antwort für die Summe unendlich vieler Begriffe abzuleiten, die immer kleiner werden (wie 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...). Die moderne Analysis erreicht das gleiche Ergebnis, wobei strengere Methoden verwendet werden.

Einige Mathematiker, wie z.B. w:Carl Boyer, sind der Meinung, dass Zenos Paradoxien einfach mathematische Probleme sind, für die die moderne Mathematik eine mathematische Lösung bietet. Zenos Fragen bleiben jedoch problematisch, wenn man sich einer unendlichen Reihe von Schritten nähert, einen Schritt nach dem anderen. Dies wird als Supertask bezeichnet. Beim Kalkül geht es eigentlich nicht darum, Zahlen einzeln zu addieren. Stattdessen bestimmt es den Wert (eine so genannte Grenze), dem sich die Addition nähert.

Siehe englische Wikipedia-Artikel

• Zenos Paradoxien
• Die Quadratur der Parabel
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · ·
• Thompsons Lampe