Konstante Funktion

Grundlegende Eigenschaften

Formal hat eine konstante Funktion f(x):R→R die Form f ( x ) = c {\darstellungsstil f(x)=c} . Gewöhnlich schreiben wir y ( x ) = c {\darstellungsstil y(x)=c} oder einfach y = c {\darstellungsstil y=c} .

• Die Funktion y=c hat 2 Variablen x und у und 1 Konstante c. (In dieser Form der Funktion sehen wir x nicht, aber es ist da).

• Die Konstante c ist eine reelle Zahl. Bevor wir mit einer linearen Funktion arbeiten, ersetzen wir c durch eine reelle Zahl.
• Die Domäne oder Eingabe von y=c ist R. Es kann also jede beliebige reelle Zahl x eingegeben werden. Die Ausgabe ist jedoch immer der Wert c.
• Der Bereich von y=c ist ebenfalls R. Da die Ausgabe jedoch immer der Wert von c ist, ist die Codomäne nur c.

Beispiel: Die Funktion y ( x ) = 4 {\Darstellungsstil y(x)=4} oder nur y = 4 {\Darstellungsstil y=4}ist die spezifische Konstantenfunktion, bei der der Ausgabewert c = 4 {\Darstellungsstil c=4} ist. Die Domäne sind alle reellen Zahlen ℝ. Die Codedomäne ist einfach {4}. Nämlich, y(0)=4, y(-2.7)=4, y(π)=4,....x eingegeben wird, die Ausgabe ist "4".

• Der Graph der konstanten Funktion y = c {\darstellungsstil y=c} ist eine horizontale Linie in der Ebene, die durch den Punkt ( 0 , c ) {\darstellungsstil (0,c)} verläuft.
• Wenn c≠0, ist die konstante Funktion y=c ein Polynom in einer Variablen x vom Grad Null.

• Der y-Abschnitt dieser Funktion ist der Punkt (0,c).
• Diese Funktion hat keinen x-Abschnitt. Das heißt, sie hat keine Wurzel oder Null. Sie kreuzt niemals die x-Achse.

• Wenn c=0, dann haben wir y=0. Dies ist das Nullpolynom oder die identische Nullfunktion. Jede reelle Zahl x ist eine Wurzel. Der Graph von y=0 ist die x-Achse in der Ebene.
• Eine konstante Funktion ist eine gerade Funktion, so dass die y-Achse für jede konstante Funktion eine Symmetrieachse ist.

Ableitung einer konstanten Funktion

In dem Kontext, in dem sie definiert ist, misst die Ableitung einer Funktion die Änderungsrate von Funktions-(Ausgangs-)Werten in Bezug auf die Änderung von Eingangswerten. Eine konstante Funktion ändert sich nicht, daher ist ihre Ableitung 0. Dies wird oft geschrieben:   ( c ) ′ = 0 {\darstellungsstil (c)'=0}  

Beispiel: y ( x ) = - 2 {\darstellungsstil y(x)=-{\sqrt {2}}}}y ist die identische Nullfunktion y ′ ( x ) = ( - 2 ) ′ = 0 {\darstellungsstil y'(x)=(-{\sqrt {2}})'=0}  

Das Umgekehrte (Gegenteil) ist ebenfalls wahr. Das heißt, wenn die Ableitung einer Funktion überall Null ist, dann ist die Funktion eine konstante Funktion.

Mathematisch gesehen schreiben wir diese beiden Aussagen:

y ( x ) = c ⇔ y ′ ( x ) = 0 , ∀ x ∈ R {\Darstellungsstil y(x)=c\,\,\,\,\,\Links-rechts-Pfeil \,\,\,y'(x)=0\,,\,\,\,\,\,für alle x\in \mathbb {R} }

Verallgemeinerung

Eine Funktion f : A → B ist eine konstante Funktion, wenn f(a) = f(b) für jedes a und b in A.

Beispiele

Beispiel aus der realen Welt: Ein Geschäft, in dem jeder Artikel für 1 Euro verkauft wird. Die Domäne dieser Funktion sind die Artikel im Laden. Die Codomäne beträgt 1 Euro.

Beispiel: Nehmen wir f : A → B wobei A={X,Y,Z,W} und B={1,2,3} und f(a)=3 für jede a∈A. Dann ist f eine konstante Funktion.

Beispiel: z(x,y)=2 ist die konstante Funktion von A=ℝ² bis B=ℝ, wobei jeder Punkt (x,y)∈ℝ² auf den Wert z=2 abgebildet wird. Der Graph dieser konstanten Funktion ist die horizontale Ebene (parallel zur x0y-Ebene) im 3-dimensionalen Raum, die durch den Punkt (0,0,2) verläuft.

Beispiel: Die polare Funktion ρ(φ)=2.5 ist die konstante Funktion, die jeden Winkel φ auf den Radius ρ=2.5 abbildet. Der Graph dieser Funktion ist der Kreis mit Radius 2.5 in der Ebene.

Andere Eigenschaften

Es gibt weitere Eigenschaften von Konstantenfunktionen. Siehe Konstante Funktion auf der englischen Wikipedia

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