Es gibt viele Arten von Fraktalen, die auf unterschiedlichste Weise hergestellt werden. Ein Beispiel ist das Sierpinski-Dreieck, bei dem unendlich viele kleine Dreiecke innerhalb des großen Dreiecks liegen. Ein weiteres Beispiel ist die Mandelbrot-Menge, benannt nach Benoît Mandelbrot. Das Sierpinksi-Dreieck wird mit Hilfe von Mustern konstruiert, aber die Mandelbrot-Menge basiert auf einer Gleichung.
Es gibt auch viele natürliche Beispiele für Fraktale in der Natur, darunter Bäume, Schneeflocken, einige Gemüsesorten und Küstenlinien.
Die Koch-Kurve
Die Koch-Kurve ist ein einfaches Beispiel für ein Fraktal. Beginnen Sie zunächst mit einem Teil einer geraden Linie - einem so genannten Geradensegment. Schneiden Sie die Linie in 3 gleichgroße Stücke. Entfernen Sie die Mitte dieser Stücke und legen Sie den oberen Teil eines Dreiecks mit Seiten ein, die die gleiche Länge wie das auszuschneidende Stück haben. Wir haben nun 4 Liniensegmente, die sich an den Enden berühren. Wir können jetzt mit jedem der 4 Bits machen, was wir gerade mit dem ersten Segment gemacht haben. Wir können jetzt mit allen Bits, die wir am Ende haben, immer wieder das Gleiche machen. Wir tun dies nun für immer und schauen uns an, was wir am Ende haben.
Die Länge der Koch-Kurve ist unendlich, und die Fläche der Koch-Kurve ist Null. Dies ist recht merkwürdig. Ein Liniensegment (mit der Dimension 1) könnte eine Länge von 1 haben, aber es hat eine Fläche von 0. Ein Quadrat der Länge 1 und der Breite 1 (mit der Dimension 2) hat die Fläche 1 und die Länge unendlich.
Dimension der Ähnlichkeit
Die Koch-Kurve scheint also größer zu sein als etwas in der Dimension 1 und kleiner als etwas in der Dimension 2. Die Idee der Ähnlichkeitsdimension ist es, eine Dimension zu geben, die eine bessere Vorstellung von Länge oder Fläche für Fraktale gibt. Wir wollen also für eine Koch-Kurve eine Dimension zwischen 1 und 2.
Die Koch-Kurve kann in vier Stücke geschnitten werden, von denen jedes 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}}
der Größe des Originals entspricht. Die Anzahl der Stücke, aus denen ein Fraktal in N {\Darstellungsstil N} geschnitten werden kann, nennen wir die Anzahl der Stücke, aus denen ein Fraktal in N {\Darstellungsstil N}
geschnitten werden kann, und den Größenunterschied nennen wir B {\Darstellungsstil B}
. Diese setzen wir in die Gleichung ein:
log N - log B {\displaystyle {\frac {\log N}{-\log B}}}} 
Wobei log {\displaystyle \log } der Logarithmus einer Zahl 
ist. Diese Zahl ist die Hausdorff-Dimension des Fraktals. In der Koch-Kurve ist dies log 4 - log 1 3 = 1,2619... {\displaystyle {\frac {\log 4}{-\log {\frac {\frac {\1}{\3}}}}=1.2619... } 
wie wir wollten.
Die Koch-Kurve ist eine der einfachsten fraktalen Formen, so dass ihre Dimension leicht herauszufinden ist. Ihre Ähnlichkeitsdimension und die Hausdorff-Dimension sind beide gleich. Dies gilt nicht für komplexere Fraktale.
Koch-Schneeflocke
Die Koch-Schneeflocke (oder Koch-Stern) ist die gleiche wie die Koch-Kurve, außer dass sie mit einem gleichseitigen Dreieck statt mit einem Liniensegment beginnt.
