Der lateinische Titel Principia Mathematica wurde in der Wissenschaftsgeschichte mehrfach verwendet. So ist er der Titel von Isaac Newtons Werk (Isaac Newton) Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, und er ist zugleich der Titel eines späteren, eigenständigen Projekts von Alfred North Whitehead und Bertrand Russell.
Überblick
Principia Mathematica bezeichnet hier ein dreibändiges Werk von Alfred North Whitehead und Bertrand Russell, das zwischen 1910 und 1913 erschien. Ziel des Werks war es, die Grundlagen der Mathematik systematisch aus formalisierten Voraussetzungen aufzubauen und mathematische Sätze durch Ableitungen aus wenigen Axiomen herzuleiten.
Zielsetzung und Aufbau
Das Projekt versuchte, mithilfe einer präzisen formalen Sprache und einer Sammlung von Axiomen sowie Inferenzregeln der symbolischen Logik die gesamte Mathematik zu begründen. Charakteristisch sind:
- eine streng symbolische Darstellung mathematischer Begriffe;
- eine hierarchische Gliederung in Definitionen, Axiome und Bewiesesysteme;
- der Anspruch, viele mathematische Aussagen explizit herleitbar zu machen.
Historischer Kontext und Einflüsse
Whitehead und Russell standen in einer Tradition formaler Logik, zu der Figuren wie Gottlob Frege gehörten. Frege hatte mit seiner Arbeit zur Begriffsschrift und zur Logik die Grundlagen gelegt, auf denen später formale Projekte wie Principia Mathematica aufbauten.
Wirkung, Grenzen und Kritik
Das Werk war einflussreich in Mathematik, Logik und Philosophie, weil es erstmals in großem Umfang die Idee verfolgte, mathematische Wahrheit durch formale Ableitung zu erklären. Gleichzeitig zeigte sich, dass praktische Ausführungen oft sehr umständlich wurden: viele einfache mathematische Sätze erforderten in der formalen Darstellung lange Ableitungen.
- Beeinflussung der analytischen Philosophie und der Entwicklung der mathematischen Logik
- Diskussionen über Formalismus, Logizismus und die Grundlagen der Mathematik
- kritische Auseinandersetzung mit der Frage, ob formale Systeme alle mathematischen Wahrheiten erfassen können
Gödels Unvollständigkeitssatz
Die Beschränkungen formaler Systeme wurden 1931 durch Kurt Gödel formell beschrieben. Gödels Unvollständigkeitssatz besagt unter bestimmten, genau formulierten Voraussetzungen, dass es in jedem hinreichend mächtigen, konsistenten formalen System wahre Aussagen gibt, die innerhalb dieses Systems nicht beweisbar sind. Diese Resultate verringerten die Hoffnung, mit einem Projekt wie Principia Mathematica alle mathematischen Wahrheiten vollständig zu erfassen.
Beispiele aus der Rezeption und Quellen
Die Bedeutung und die Folgen des Projekts sind verschiedentlich kommentiert worden. Eine berühmte literarische Anekdote zur Wahrnehmung mathematischer Klassiker findet sich in G. H. Hardys Erinnerungen; siehe Entschuldigung eines Mathematikers (Hardy, Entschuldigung eines Mathematikers) mit der entsprechenden Ausgabeangabe (ISBN-Angabe).
Ausgaben und weiterführende Literatur
Die Originalbände erschienen 1910–1913; 1927 erschien eine überarbeitete Ausgabe mit einer wichtigen Einführung zur zweiten Auflage und ergänzenden Anmerkungen. Für eine vertiefende Lektüre bieten sich sowohl historische Einführungen als auch kritische Darstellungen zur Logik und zu Gödels Theoremen an.
Zusammenfassung
Principia Mathematica ist ein historisch bedeutsames, ambitioniertes Werk zur formalen Begründung der Mathematik. Es hat die weitere Entwicklung der Logik und der philosophischen Diskussion über die Grundlagen der Mathematik stark beeinflusst, obwohl spätere Resultate wie Gödels Theorem die Grenzen des Programms deutlich machten.
