Zunächst wies Euler darauf hin, dass die Wahl der Route innerhalb jeder Landmasse keine Rolle spielt. Die einzige wichtige Eigenschaft einer Route ist die Reihenfolge, in der die Brücken überquert werden. Daher änderte er das Problem in abstrakte Begriffe. Damit legte er die Grundlagen der Graphentheorie. Er entfernte alle Merkmale mit Ausnahme der Liste der Landmassen und der sie verbindenden Brücken. In der Sprache der Graphentheorie ersetzte er jede Landmasse durch einen abstrakten "Vertex" oder Knoten. Dann ersetzte er jede Brücke durch eine abstrakte Verbindung, eine "Kante". Eine Kante (Straße) hielt fest, welche zwei Scheitelpunkte (Landmassen) verbunden waren. Auf diese Weise bildete er einen Graphen.
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Die gezeichnete Grafik ist ein abstraktes Bild des Problems. Die Kanten können also beliebig miteinander verbunden werden. Wichtig ist nur, ob zwei Punkte verbunden sind oder nicht. Eine Änderung des Bildes des Graphen verändert nicht den Graphen selbst.
Als nächstes bemerkte Euler, dass man (außer an den Endpunkten des Spaziergangs) immer dann, wenn man einen Scheitelpunkt über eine Brücke betritt, den Scheitelpunkt über eine Brücke verlässt. Bei jedem Durchgang des Graphen ist die Anzahl der Eintritte in einen Scheitelpunkt gleich der Anzahl der Austritte aus dem Scheitelpunkt. Wenn jede Brücke genau einmal überquert worden ist, folgt daraus, dass für jede Landmasse (mit Ausnahme der für Start und Ziel gewählten) die Anzahl der Brücken, die diese Landmasse berühren, gerade sein muss. Denn wenn es n Brücken gibt, wird sie genau 2n Mal überquert. Alle vier Landmassen des ursprünglichen Problems werden jedoch von einer ungeraden Anzahl von Brücken berührt (eine Brücke wird von 5 Brücken berührt, und jede der anderen drei wird von 3 berührt). Es gibt höchstens zwei Massen, die die Endpunkte einer Wanderung sein können. Der Vorschlag eines Spaziergangs, bei dem jede Brücke einmal überquert wird, führt also zu einem Widerspruch.
In moderner Sprache zeigt Euler, dass es von den Graden der Knoten abhängt, ob ein Gang durch einen Graphen, der jede Kante einmal überquert, möglich ist oder nicht. Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die ihn berühren. Euler zeigt, dass eine notwendige Bedingung für den Gang ist, dass der Graph verbunden ist und genau null oder zwei Knoten ungeraden Grades hat. Dieses von Euler angegebene Ergebnis wurde später von Carl Hierholzer bewiesen. Eine solche Wanderung wird heute als Euler'scher Weg oder Eulersche Wanderung bezeichnet. Wenn es Knoten ungeraden Grades gibt, dann beginnt jeder Euler'sche Pfad bei einem von ihnen und endet bei dem anderen. Da der Graph, der das historische Königsberg darstellt, vier Knoten ungeraden Grades hat, kann es keinen Euler'schen Pfad geben.
Eulers Werk wurde am 26. August 1735 an der St. Petersburger Akademie vorgestellt. Es wurde als Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (Die Lösung eines Problems im Zusammenhang mit der Geometrie der Position) in der Zeitschrift Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae im Jahre 1741 veröffentlicht. Sie ist in englischer Sprache in The World of Mathematics erhältlich.
