Spearman-Rangkorrelationskoeffizient: Definition, Formel & Beispiel
Spearman-Rangkorrelationskoeffizient: Verständliche Definition, Formel und praktisches Beispiel zur Berechnung von ρ (r_s) — Statistik einfach erklärt und anwendbar.
In Mathematik und Statistik ist der Spearman'sche Rangkorrelationskoeffizient ein Korrelationsmaß, benannt nach seinem Schöpfer, Charles Spearman. Er wird kurz als der griechische Buchstabe rho ( ρ {\displaystyle \rho } 
) oder manchmal als r s {\displaystyle r_{s}} geschrieben. 
Es ist eine Zahl, die angibt, wie stark zwei Datensätze in einem monotonen Zusammenhang zueinander stehen. Der Spearman-Koeffizient kann nur für Daten verwendet werden, die geordnet werden können (ordinal, intervall- oder verhältnisskalierte Daten), also z. B. vom höchsten zum niedrigsten Wert oder umgekehrt.
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Formel
Die gebräuchliche geschlossene Formel für den Spearman-Rangkorrelationskoeffizienten lautet
ρ = 1 - 6 ∑ d 2 / n ( n 2 - 1 ) — beziehungsweise in gut lesbarer Schreibweise:
ρ = 1 − (6 · Σd²) / (n (n² − 1)) 
.
Dabei ist n die Anzahl der Paare, d die Differenz der Ränge eines Paares (Rang von X minus Rang von Y) und Σd² die Summe der quadrierten Rangdifferenzen.
Berechnungsschritte
- Ordnen (ranken) Sie die Werte jeder Variablen separat. Achten Sie darauf, für beide Variablen dasselbe Rangierungsschema zu verwenden (z. B. 1 = größter Wert oder 1 = kleinster Wert).
- Bei gebundenen Werten (Ties) weisen Sie den gebundenen Werten den mittleren Rang (Durchschnittsrang) zu.
- Berechnen Sie für jedes Paar die Differenz d zwischen den beiden Rängen und anschließend d².
- Summieren Sie alle d² und setzen Sie die Werte in die Formel ρ = 1 − (6·Σd²) / (n(n² − 1)) ein.
- Alternativ kann man den Spearman-Koeffizienten auch als Pearson-Korrelation der Ränge berechnen (Korrelation der Rangwerte statt der Originalwerte). Das ist besonders bei vielen Ties empfehlenswert.
Beispiel
Angenommen, Sie haben Daten darüber, wie teuer verschiedene Computer sind, und Daten darüber, wie schnell die Computer sind. Mit dem Spearman-Koeffizienten können Sie prüfen, ob eine monotone Beziehung vorliegt und wie stark diese ist.
Beispieldaten (n = 5):
- Computer A: Preis = 1000, Geschwindigkeit = 260
- Computer B: Preis = 1500, Geschwindigkeit = 290
- Computer C: Preis = 1200, Geschwindigkeit = 240
- Computer D: Preis = 800, Geschwindigkeit = 200
- Computer E: Preis = 2000, Geschwindigkeit = 350
Ränge (1 = höchster Wert):
- Preis-Ränge: A → 4, B → 2, C → 3, D → 5, E → 1
- Geschwindigkeits-Ränge: A → 3, B → 2, C → 4, D → 5, E → 1
Rangdifferenzen und Quadrate:
- A: d = 4 − 3 = 1 → d² = 1
- B: d = 2 − 2 = 0 → d² = 0
- C: d = 3 − 4 = −1 → d² = 1
- D: d = 5 − 5 = 0 → d² = 0
- E: d = 1 − 1 = 0 → d² = 0
Σd² = 1 + 0 + 1 + 0 + 0 = 2, n = 5 →
ρ = 1 − (6·2) / (5(5² − 1)) = 1 − 12 / (5·24) = 1 − 12 / 120 = 0,9.
Interpretation
- ρ = +1: perfekte positive monotone Beziehung (steigende Werte von X ↔ steigende Werte von Y).
- ρ = −1: perfekte negative monotone Beziehung (steigende Werte von X ↔ fallende Werte von Y).
- ρ nahe 0: keine monotone Beziehung erkennbar.
Wichtige Hinweise und Unterschiede zu Pearson
- Der Spearman-Koeffizient misst monotone Zusammenhänge (nicht nur lineare). Er ist deshalb robuster gegenüber Ausreißern und nichtlinearen, aber monotonen Beziehungen.
- Bei gebundenen Rängen (Ties) sollten die Ränge gemittelt werden; bei vielen Ties ist die exakte Varianzformel komplexer, in der Praxis wird oft die Pearson-Korrelation der Rangwerte verwendet.
- Für Hypothesentests (z. B. ob ρ ≠ 0) kann bei hinreichend großem n eine t-Approximation verwendet werden; es gibt aber auch exakte Tests für kleine Stichproben.
- Spearman ist nicht geeignet, wenn ausschließlich lineare Zusammenhänge mit Annahmen zu Normalverteilungen getestet werden sollen — in solchen Fällen ist der Pearson-Korrelationskoeffizient angemessener.
Es ausarbeiten
Erster Schritt
Um r s {\Anzeigestil r_{s}} auszuarbeiten, müssen Sie zunächst eine Rangfolge der einzelnen Daten erstellen. Wir werden das Beispiel aus dem Intro von Computern und ihrer Geschwindigkeit verwenden.
Der Computer mit dem niedrigsten Preis wäre also auf Platz 1. Der Computer mit dem höheren Preis hätte Platz 2. Dann geht er nach oben, bis alles auf Rang 1 ist. Dies müssen Sie mit beiden Datensätzen tun.
| Preis ($) | R a n k 1 {\Anzeigestil Rang_{1}} | Geschwindigkeit (GHz) | R a n k 2 {\Anzeigestil Rang_{2}} | |
| A | 200 | 1 | 1.80 | 2 |
| B | 275 | 2 | 1.60 | 1 |
| C | 300 | 3 | 2.20 | 4 |
| D | 350 | 4 | 2.10 | 3 |
| E | 600 | 5 | 4.00 | 5 |
Zweiter Schritt
Als nächstes müssen wir den Unterschied zwischen den beiden Rängen herausfinden. Dann multipliziert man die Differenz mit sich selbst, was man Quadrieren nennt. Die Differenz wird d {\Anzeigeart d}
genannt, und die Zahl, die man erhält, wenn man d {\Anzeigeart d} quadriert, wird d 2 {\Anzeigeart d^{2}} genannt. 
.
| R a n k 1 {\Anzeigestil Rang_{1}} | R a n k 2 {\Anzeigestil Rang_{2}} | d {\Anzeigestil d} | d 2 {\Anzeigestil d^{2}} |
| 1 | 2 | -1 | 1 |
| 2 | 1 | 1 | 1 |
| 3 | 4 | -1 | 1 |
| 4 | 3 | 1 | 1 |
| 5 | 5 | 0 | 0 |
Dritter Schritt
Zählen Sie, wie viele Daten wir haben. Diese Daten haben die Ränge 1 bis 5, wir haben also 5 Daten. Diese Zahl wird n {\Anzeigestil n}
genannt.
Vierter Schritt
Verwenden Sie schließlich alles, was wir bisher in dieser Formel ausgearbeitet haben: r s = 1 - 6 ∑ d 2 n ( n 2 - 1 ) {\displaystyle r_{s}=1-{\cfrac {6\sum d^{2}}{n(n^{2}-1)}} 
.
∑ d 2 {\displaystyle \sum d^{2}}
bedeutet, dass wir die Summe aller Zahlen nehmen, die sich in der Spalte d 2 {\displaystyle d^{2}} befanden . Dies liegt daran, dass ∑ {\displaystyle \sum }Total bedeutet. 
Also, ∑ d 2 {\displaystyle \sum d^{2}} ist 1 + 1 + 1 + 1 + 1 {\displaystyle 1+1+1+1+1}
was 4 ist. Die Formel besagt, dass sie mit 6 multipliziert werden muss, was 24 ist.
n ( n 2 - 1 ) {\Anzeigestil n(n^{2}-1)} 
ist 5 × ( 25 - 1 ) {\Anzeigestil 5\mal (25-1)}
, was 120 ist.
Also, um den r s {\Anzeigestil r_{s}} herauszufinden machen wir einfach 1 - 24 120 = 0,8 {\displaystyle 1-{\cfrac {24}{120}}}=0,8} 
.
Daher beträgt der Spearman'sche Rangkorrelationskoeffizient für diesen Datensatz 0,8.
Was die Zahlen bedeuten
r s {\Darstellungsstil r_{s}} gibt immer eine Antwort zwischen -1 und 1. Die Zahlen dazwischen sind wie eine Skala, wobei -1 eine sehr starke Verbindung, 0 keine Verbindung und 1 ebenfalls eine sehr starke Verbindung ist. Der Unterschied zwischen 1 und -1 besteht darin, dass 1 eine positive Korrelation und -1 eine negative Korrelation ist. Ein Datendiagramm mit einem r s {\Darstellungsstil r_{s}} Wert von -1 würde wie das gezeigte Diagramm aussehen, außer dass die Linie und die Punkte von links oben nach rechts unten gehen würden.
Zum Beispiel war für die Daten, die wir oben gemacht haben, der r s {\Darstellungsstil r_{s}} 0,8. Dies bedeutet also, dass es eine positive Korrelation gibt. Da sie nahe bei 1 liegt, bedeutet dies, dass die Verbindung zwischen den beiden Datensätzen stark ist. Wir können also sagen, dass diese beiden Datensätze miteinander verknüpft sind und gemeinsam nach oben gehen. Bei einem Wert von -0,8 könnte man sagen, dass eine Verbindung besteht, und wenn der eine Wert steigt, geht der andere nach unten.
Wenn zwei Zahlen gleich sind
Beim Ranking von Daten gibt es manchmal zwei oder mehr Zahlen, die gleich sind. Wenn dies im r s {\Anzeigestil r_{s}} geschieht nehmen wir den Mittelwert oder den Durchschnitt der Ränge, die gleich sind. Diese Ränge werden als Gleichstand bezeichnet. Dazu ordnen wir die gleichrangigen Zahlen so an, als ob sie nicht gleichrangig wären. Dann addieren wir alle Ränge, die sie haben würden, und dividieren sie durch die Anzahl der Ränge. Nehmen wir zum Beispiel an, wir würden bewerten, wie gut verschiedene Personen in einem Rechtschreibtest abgeschnitten haben.
| Testergebnis | Rang | Rang (bei Gleichstand) |
| 4 | 1 | 1 |
| 6 | 2 | 2 + 3 + 4 3 = 3 {\Anzeigestil {\tfrac {2+3+4}{3}}}=3} |
| 6 | 3 | 2 + 3 + 4 3 = 3 {\Anzeigestil {\tfrac {2+3+4}{3}}}=3} |
| 6 | 4 | 2 + 3 + 4 3 = 3 {\Anzeigestil {\tfrac {2+3+4}{3}}}=3} |
| 8 | 5 | 5 + 6 2 = 5,5 {\darstellungsstil {\tfrac {5+6}{2}}}=5,5} |
| 8 | 6 | 5 + 6 2 = 5,5 {\darstellungsstil {\tfrac {5+6}{2}}}=5,5} |
Diese Zahlen werden genau wie normale Dienstgrade verwendet.
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Fragen und Antworten
F: Was ist der Spearman'sche Rangkorrelationskoeffizient?
A: Der Spearman'sche Rangkorrelationskoeffizient ist ein Maß für die Korrelation, das zeigt, wie eng zwei Datensätze miteinander verbunden sind. Er kann nur für Daten verwendet werden, die in eine Reihenfolge gebracht werden können, z.B. vom höchsten zum niedrigsten Wert.
F: Wer hat den Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizienten entwickelt?
A: Charles Spearman hat den Spearman'schen Rangkorrelationskoeffizienten entwickelt.
F: Wie lautet die allgemeine Formel für den Rangkorrelationskoeffizienten von Spearman?
A: Die allgemeine Formel für den Spearman'schen Rangkorrelationskoeffizienten lautet ρ = 1 - 6∑d2/n(n2-1).
Q: Wann sollten Sie den Rangkorrelationskoeffizienten von Spearman verwenden?
A: Sie sollten den Rangkorrelationskoeffizienten von Spearman verwenden, wenn Sie sehen möchten, wie eng zwei Datensätze miteinander verbunden sind und ob sie überhaupt miteinander verbunden sind.
F: Mit welcher Art von Daten funktioniert er?
A: Er funktioniert mit jeder Art von Daten, die in eine Reihenfolge gebracht werden können, z.B. von der höchsten zur niedrigsten.
F: Können Sie ein Beispiel nennen, wo Sie diese Maßnahme einsetzen würden?
A: Ein Beispiel für die Verwendung dieses Maßes wäre, wenn Sie Daten darüber haben, wie teuer verschiedene Computer sind, und Daten darüber, wie schnell die Computer sind, dann können Sie mit r_s sehen, ob sie miteinander verbunden sind und wie eng sie verbunden sind.
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Autor
AlegsaOnline.com Spearman-Rangkorrelationskoeffizient: Definition, Formel & Beispiel Leandro Alegsa
URL: https://de.alegsaonline.com/art/92545
Quellen
- cgpbooks.co.uk : Coordination Group Publications
- statistics4u.info : Spearman's Rank at www.statistics4u.info