Abraham de Moivre – Wahrscheinlichkeitslehre, Trigonometrie & de Moivre-Formel
Abraham de Moivre: Pionier der Wahrscheinlichkeit, Trigonometrie und der de Moivre‑Formel — von "The Doctrine of Chances" bis zur Binet‑Formel für Fibonacci: Leben, Forschung und Einfluss.
Abraham de Moivre (26. Mai 1667 – 27. November 1754) war ein französischer Mathematiker und gilt als einer der Pioniere der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie und der analytischen Trigonometrie. Als Angehöriger der Hugenotten musste er nach der religiösen Verfolgung in Frankreich nach England emigrieren. In London lebte und arbeitete er als Privatgelehrter; er pflegte enge wissenschaftliche Kontakte, unter anderem zu Isaac Newton, Edmund Halley und James Stirling. Zu seinen Mitexilanten in England gehörte auch der Herausgeber und Übersetzer Pierre des Maizeaux.
Leben und beruflicher Werdegang
De Moivre wurde 1667 in Vitry-le-François geboren. Nach seiner Flucht aus Frankreich ließ er sich in England nieder, wo er sein Leben weitgehend der Forschung und dem Unterrichten widmete. Obwohl er nie eine feste Professur innehatte, wurde seine Arbeit von vielen Zeitgenossen geschätzt. Er war Mitglied von wissenschaftlichen Kreisen in London und stand in regem Austausch mit führenden Mathematikern seiner Zeit.
Wissenschaftliche Beiträge
De Moivre leistete wichtige Beiträge in mehreren Bereichen der Mathematik:
- Wahrscheinlichkeitstheorie: Sein Buch The Doctrine of Chances machte ihn berühmt. Es enthält Methoden zur Berechnung von Gewinnwahrscheinlichkeiten beim Glücksspiel, zur Kombinationstheorie und zu Reihenentwicklungen. Außerdem entwickelte er die Idee, dass sich die Binomialverteilung für große Anzahlen von Versuchen einer Glockenkurve annähert – ein Vorläufer des zentralen Grenzwertsatzes, der später unter anderem von Laplace weiterformalisiert wurde (de Moivre–Laplace-Theorem).
- Trigonometrie und komplexe Zahlen: Er arbeitete intensiv mit trigonometrischen Reihen und verknüpfte Trigonometrie mit der Theorie der komplexen Zahlen.
- Analysis und Abschätzungen: De Moivre entwickelte Methoden zur Approximation von Fakultäten und Binomialkoeffizienten, die später mit Stirling’scher Formel in Verbindung gebracht wurden und in der Wahrscheinlichkeitstheorie nützlich sind.
- Reihen und Rekurrenzen: Er untersuchte Potenzreihen und fand geschlossene Ausdrücke für bestimmte Folgen, darunter die Formel von Binet für die Fibonacci-Zahlen.
Die Formel von de Moivre
Die nach ihm benannte Formel von de Moivre stellt eine wichtige Verbindung zwischen Trigonometrie und komplexen Zahlen her. In Worten lautet sie: Potenziert man die komplexe Zahl cosθ + i·sinθ mit einem ganzzahligen Exponenten n, dann gilt
(cos θ + i sin θ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ).
Diese Formel ist zentral für viele Anwendungen, etwa zur Bestimmung von Vielfachen eines Winkels, zur Lösung trigonometrischer Gleichungen und zur Darstellung komplexer Zahlen in Polarform.
Formel von Binet und Fibonacci-Zahlen
De Moivre entdeckte einen geschlossenen Ausdruck für die n-te Fibonacci-Zahl, der später als Formel von Binet bekannt wurde. Diese Formel verbindet die n-te Potenz des Goldenen Schnittes φ mit den Fibonacci-Zahlen und liefert einen direkten Ausdruck für die n-te Fibonacci-Zahl ohne Rekurrenzrechnung.
Bedeutung und Vermächtnis
De Moivres Arbeiten legten wichtige Grundlagen für die klassische Wahrscheinlichkeitstheorie und für die Verknüpfung von Analysis, Trigonometrie und komplexen Zahlen. Seine Methoden und Sätze werden bis heute in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik und in der mathematischen Physik verwendet. Seine populären Schriften machten komplizierte Methoden auch einem breiteren Leserkreis – darunter Spieler und Praktiker – zugänglich.
Obwohl er bescheiden lebte und in späteren Jahren finanziell nicht wohlhabend war, beeinflusste Abraham de Moivre die weitere Entwicklung der Mathematik nachhaltig; zahlreiche Konzepte und Theoreme tragen bis heute seinen Einfluss.
Fragen und Antworten
F: Wer war Abraham de Moivre?
A: Abraham de Moivre war ein französischer Mathematiker, der für seine Arbeiten zur Wahrscheinlichkeitstheorie und seine Forschungen zur Trigonometrie bekannt war.
F: Wie lautet die Formel von De Moivre?
A: Die Formel von De Moivre verbindet komplexe Zahlen und Trigonometrie.
F: Warum ist De Moivre nach England ausgewandert?
A: De Moivre war ein Hugenotte und wurde gezwungen, nach England auszuwandern.
F: Wer waren einige der Freunde und Kollegen von De Moivre in England?
A: De Moivre war ein Freund von Isaac Newton, Edmund Halley und James Stirling. Unter seinen hugenottischen Exilgenossen in England war er ein Kollege des Herausgebers und Übersetzers Pierre des Maizeaux.
F: Welches Buch hat De Moivre geschrieben?
A: De Moivre schrieb ein Buch über die Wahrscheinlichkeitstheorie, The Doctrine of Chances, von dem gesagt wird, dass es von Glücksspielern geschätzt wurde.
F: Was hat De Moivre entdeckt?
A: De Moivre entdeckte als Erster die Binet-Formel, den geschlossenen Ausdruck für Fibonacci-Zahlen, der die n-te Potenz des Goldenen Schnitts φ mit der n-ten Fibonacci-Zahl verbindet.
F: Welchen Beitrag hat De Moivre zur Mathematik geleistet?
A: De Moivre leistete bedeutende Beiträge zur Wahrscheinlichkeitstheorie und Trigonometrie, darunter die Entwicklung der De Moivre-Formel und die Entdeckung der Binet-Formel.
Suche in der Enzyklopädie