Konvexes reguläres 4-Polytop

In der Mathematik ist ein konvexes reguläres 4-Polytop (oder Polychoron) ein 4-dimensionales (4D) Polytop, das sowohl regulär als auch konvex ist. Dies sind die vierdimensionalen Analoga der platonischen Körper (dreidimensional) und der regelmäßigen Polygone (zweidimensional).

Diese Polytope wurden erstmals Mitte des 19. Jahrhunderts von dem Schweizer Mathematiker Ludwig Schläfli beschrieben. Schläfli entdeckte, dass es genau sechs solcher Figuren gibt. Fünf davon kann man sich als höherdimensionale Analoga zu den platonischen Körpern vorstellen. Es gibt eine weitere Figur (die 24-Zellen-Figur), die kein dreidimensionales Äquivalent hat.

Jedes konvexe reguläre 4-Polytop wird von einem Satz 3-dimensionaler Zellen begrenzt, die alle platonische Festkörper desselben Typs und derselben Größe sind. Diese sind entlang ihrer jeweiligen Flächen in regelmäßiger Weise zusammengefügt.

Eigenschaften

Die folgenden Tabellen listen einige Eigenschaften der sechs konvexen regulären Polychora auf. Die Symmetriegruppen dieser Polychora sind alle Coxeter-Gruppen und in der in diesem Artikel beschriebenen Notation angegeben. Die Zahl nach dem Namen der Gruppe ist die Reihenfolge der Gruppe.

Namen	Familie	Schläfli Symbol	Vertices	Kanten	Gesichter	Zellen	Vertex-Figuren	Duales Polytop	Symmetrie-Gruppe
Pentachoron5-Zellpentatopehyperpyramidenhypertetraeder4-Simplex	Simplex (n-Simplex)	{3,3,3}	5	10	10 Dreiecke	5 Tetraeder	Tetraeder	(selbst-dual)	_A4	120
Tesseraktoctachoron8-Zellhyperwürfel4-Würfel	Hyperwürfel (n-Würfel)	{4,3,3}	16	32	24 Quadrate	8 Würfel	Tetraeder	16-zellig	B4	384
Hexadecachoron16-Zellorthoplexhyperoktaeder4-Orthoplex	Kreuz-Polytop (n-Orthoplex)	{3,3,4}	8	24	32 Dreiecke	16 Tetraeder	Oktaeder	tesserakt	B4	384
Icositetrachoron24-Celloctaplexpolyoctaeder		{3,4,3}	24	96	96 Dreiecke	24oktaeder	Würfel	(selbst-dual)	F4	1152
Hecatonicosachoron120-ZelldodekaplexhyperdododekaederPolydodekaeder		{5,3,3}	600	1200	720 Fünfecke	120 Dodekaeder	Tetraeder	600-Zelle	H4	14400
Hexacosichoron600-Zelltetraplexhyperosahedronpolytetraeder		{3,3,5}	120	720	1200 Dreiecke	600 Tetraeder	icosahedra	120-Zelle	H4	14400

Da die Grenzen jeder dieser Figuren topologisch äquivalent zu einer 3-Kugel sind, deren Euler-Charakteristik Null ist, haben wir das 4-dimensionale Analogon der Eulerschen Polyederformel:

N 0 - N 1 + N 2 - N 3 = 0 {\Anzeigestil N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,} $N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,$

wobei Nk die Anzahl der k-Flächen im Polytop bezeichnet (ein Scheitelpunkt ist eine 0-Fläche, eine Kante eine 1-Fläche usw.).

Visualisierungen

Die folgende Tabelle zeigt einige 2-dimensionale Projektionen dieser Polytope. Verschiedene andere Visualisierungen finden Sie auf den anderen Websites weiter unten. Die Coxeter-Dynkin-Diagramme sind ebenfalls unter dem Schläfli-Symbol aufgeführt.

5-zellig	8-Zelle	16-zellig	24-Zelle	120-Zelle	600-Zelle
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}

Orthographische Drahtgitterprojektionen innerhalb von Petrie-Polygonen.

Solide orthographische Projektionen
tetraedrische Hülle (zell-/vertexzentriert)	kubische Hülle (zellzentriert)	oktaedrische Hülle (Scheitelpunkt zentriert)	kuboktaedrische Hülle (zellzentriert)	abgestumpfte Rhombictriacontahedronenentwicklung (zellzentriert)	Pentakis ikosidodekaedrische Entwicklung (vertexzentriert)
Drahtgitter-Schlegeldiagramme (Perspektivische Projektion)
(Zellzentriert)	(Zellzentriert)	(Zellzentriert)	(Zellzentriert)	(Zellzentriert)	(Vertex-zentriert)
Stereographische Drahtgitterprojektionen (Hypersphärisch)

Fragen und Antworten

Q: Was ist ein konvexes regelmäßiges 4-Polytop?

A: Ein konvexes reguläres 4-Polytop ist ein 4-dimensionales Polytop, das sowohl regulär als auch konvex ist.

Q: Was sind die Entsprechungen von konvexen regelmäßigen 4-Polytope in drei und zwei Dimensionen?

A: Die Analoga konvexer regelmäßiger 4-Polytope in drei Dimensionen sind die platonischen Körper, während sie in zwei Dimensionen die regelmäßigen Polygone sind.

F: Wer beschrieb zuerst konvexe regelmäßige 4-Polytope?

A: Der Schweizer Mathematiker Ludwig Schläfli beschrieb konvexe regelmäßige 4-Polytope erstmals Mitte des 19. Jahrhunderts.

F: Wie viele konvexe reguläre 4-Polytope gibt es?

A: Es gibt genau sechs konvexe reguläre 4-Polytope.

F: Was ist die Besonderheit des 24-zelligen Polytops unter den konvexen regulären 4-Polytope?

A: Das 24-Zellen-Polytop hat keine dreidimensionale Entsprechung unter den konvexen regulären 4-Polytope.

F: Welche 3-dimensionalen Zellen begrenzen jedes konvexe regelmäßige 4-Polytope?

A: Jedes konvexe reguläre 4-Polytop wird von einer Menge 3-dimensionaler Zellen begrenzt, die alle platonische Körper desselben Typs und derselben Größe sind.

F: Wie sind die 3-dimensionalen Zellen in einem konvexen regelmäßigen 4-Polytop zusammengefügt?

A: In einem konvexen regulären 4-Polytop sind die 3-dimensionalen Zellen entlang ihrer jeweiligen Flächen regelmäßig aneinandergefügt.