Gleichheit (Mathematik)

In der Mathematik sind zwei Dinge gleich, wenn und nur wenn sie in jeder Hinsicht genau gleich sind. Das heißt, sie haben den gleichen (mathematischen) Wert und die gleichen mathematischen Eigenschaften. Mathematiker verwenden das Gleichheitszeichen (=), um dies zu sagen. Dies definiert eine binäre Beziehung, Gleichheit. Die Aussage "x = y" bedeutet, dass x und y gleich sind.

Äquivalenz in einem allgemeineren Sinne wird durch die Konstruktion einer Äquivalenzbeziehung zwischen zwei Mengen erreicht, d.h. die beiden Mengen haben genau die gleichen Elemente. Die Mengen müssen nicht endlich sein, um gleich zu sein. Eine Aussage, dass zwei Ausdrücke gleiche Mengen bezeichnen, ist eine Gleichung. Gleichungen sind gleich. Ungleichheiten sind ungleich.

Da ein Prädikat eine Möglichkeit ist, etwas zu beschreiben, das wahr ist, kann man dies auch so ausdrücken: Wenn Sie etwas finden können, das in Bezug auf die eine Variable wahr ist, aber nicht in Bezug auf die andere Variable, dann sind sie, was die mathematische Logik betrifft, nicht gleich.

Um es einfach auszudrücken: Wenn zwei Dinge gleich sind, muss alles, was an dem einen wahr ist, auch an dem anderen wahr sein.

In der Geometrie wird oft das Wort Kongruenz bevorzugt. Zahlen sind gleich, geometrische Objekte sind kongruent. Zwei Formen sind kongruent, wenn die eine bewegt oder gedreht werden kann, so dass sie genau dorthin passt, wo die andere ist. Wenn Sie eines der beiden Objekte verkleinern oder vergrößern müssen, sind sie nicht kongruent. Sie werden ähnlich genannt

In der Informatik wird in der Regel die mathematische Definition verwendet. Sehr oft wird der Vergleich == geschrieben (und die Zuweisung, d.h. die Angabe eines Wertes, wird = oder := geschrieben). In objektorientierten Sprachen oder Sprachen, die Zeiger haben, gibt es ein zusätzliches Problem. Diese Sprachen enthalten Verweise (die in Wirklichkeit Zeiger sind). Wenn zwei solcher Verweise nicht genau auf dasselbe Objekt verweisen, sind sie unterschiedlich. a == b ist in diesem Fall falsch.

Aus diesem Grund haben viele solcher Sprachen einen weiteren Operator eingeführt (in Java wird diese Methode Equals genannt). Dieser Operator vergleicht die tatsächlichen Werte der Objekte und nicht, wohin die Variablen, auf die sie verweisen, zeigen.

In den Sozialwissenschaften sind zwei Menschen gleichwertig, wenn auf sie viele der gleichen Dinge zutreffen. Zwei Menschen, die die gleiche Ausbildung und das gleiche Geld haben und gleich alt sind, sehen sich in der Regel als gleichwertig an. Ein anderer Name für eine Person, die einer anderen Person gleichgestellt ist, ist Peer.

Fragen und Antworten

F: Welches Symbol wird in der Mathematik zur Darstellung der Gleichheit verwendet?

A: Das Gleichheitszeichen (=) wird in der Mathematik zur Darstellung der Gleichheit verwendet.

F: Wie können zwei mathematische Objekte gleichwertig sein?

A: Zwei mathematische Objekte können äquivalent sein, wenn sie durch eine Äquivalenzbeziehung miteinander verbunden sind. Dies wird oft durch Symbole wie ∼ oder ≡ dargestellt.

F: Was bedeutet es, wenn zwei Ausdrücke gleiche Mengen bezeichnen?

A: Wenn zwei Ausdrücke gleiche Mengen bezeichnen, bedeutet dies, dass sie gleich sind und diese Aussage wird als Gleichung oder Gleichheit bezeichnet.

F: Wie unterscheiden Mathematiker zwischen Gleichungen und Ungleichungen?

A: Gleichungen sind gleich, während Ungleichungen ungleich sind.

F: Was ist der Unterschied zwischen Kongruenz und Ähnlichkeit in der Geometrie?

A: Kongruenz liegt vor, wenn ein geometrisches Objekt so verschoben oder gedreht werden kann, dass es genau an die Stelle des anderen passt, ohne dass eines der beiden Objekte geschrumpft oder vergrößert wird. Ähnlichkeit liegt vor, wenn eines der beiden Objekte verkleinert oder vergrößert werden muss, damit sie zusammenpassen. Die Kongruenzbeziehung wird oft durch das Symbol ≅ dargestellt, während die Ähnlichkeitsbeziehung durch das Symbol ∼ dargestellt wird.

F: Welcher Operator vergleicht in der Informatik die tatsächlichen Werte von Objekten und nicht den Ort, auf den Variablen zeigen?

A: In der Informatik verwenden Sprachen, die über Zeiger verfügen, in der Regel einen anderen Operator (wie z.B. die 'equals'-Methode von Java), der die tatsächlichen Werte von Objekten vergleicht und nicht den Ort, auf den Variablen zeigen.

F: Wie wird Gleichheit in den Sozialwissenschaften definiert?

A: In den Sozialwissenschaften gelten zwei Personen als gleich, wenn viele Dinge auf sie zutreffen, wie z.B. ein ähnliches Bildungs- und Geldniveau und etwa das gleiche Alter. Eine andere Bezeichnung für eine Person, die einer anderen Person in diesem Sinne gleichgestellt ist, wäre Peer.