Funktionszusammensetzung (Komposition): Definition, Notation, Beispiele
Funktionszusammensetzung (Komposition) einfach erklärt: Definition, Notation & praxisnahe Beispiele mit Schritt-für-Schritt-Rechnung. Jetzt verstehen und sicher anwenden!
In der Mathematik ist die Funktionszusammensetzung eine Möglichkeit, aus zwei Funktionen eine neue Funktion zu bilden.
Seien f und g zwei Funktionen mit f: X \u2192 Y und g: Y \u2192 Z. Dann ist die Komposition von g mit f die Funktion g \u2218 f (gesprochen „g komponiert mit f“) mit Definitionsbereich X und Wertebereich in Z. Formal gilt für alle x \u2208 X:
(g \u2218 f)(x) = g(f(x)).
Wichtig ist, dass die Zielmenge (Codomain) von f mit der Definitionsmenge (Domain) von g übereinstimmen muss, damit g(f(x)) sinnvoll definiert ist. Die Reihenfolge der Anwendung ist rechts-nach-links: zuerst wird f auf x angewendet, dann g auf das Ergebnis.
Beispiel
Sei f die Funktion, die eine Zahl verdoppelt (mit 2 multipliziert), und sei g die Funktion, die 1 von einer Zahl subtrahiert.
f ( x ) = 2 x {\Anzeigestil f(x)=2x} 
g ( x ) = x - 1 {\Anzeigeart g(x)=x-1} 
Die Komposition g \u2218 f (zuerst f, dann g) ist:
( g ∘ f ) ( x ) = 2 x - 1 {\Anzeigestil (g\circc f)(x)=2x-1} 
Die andere Komposition f \u2218 g (zuerst g, dann f) ergibt:
(f \u2218 g)(x) = f(g(x)) = f(x-1) = 2(x-1) = 2x - 2.
Aus dem Beispiel sieht man, dass in der Regel g \u2218 f \u2260 f \u2218 g. Die Komposition ist also im Allgemeinen nicht kommutativ.
Wichtige Eigenschaften
- Assoziativität: Für passende Funktionen f, g, h gilt h \u2218 (g \u2218 f) = (h \u2218 g) \u2218 f. Die Reihenfolge der Auswertung bleibt dabei rechts-nach-links.
- Neutrales Element: Für jede Menge X gibt es die Identitätsfunktion id_X : X \u2192 X mit id_X(x) = x. Es gilt f \u2218 id_X = f und id_Y \u2218 f = f für f: X \u2192 Y.
- Inverse: Wenn f: X \u2192 Y bijektiv ist, dann existiert eine Umkehrfunktion f^{-1}: Y \u2192 X mit f^{-1} \u2218 f = id_X und f \u2218 f^{-1} = id_Y.
- Verkettung und Ableitung (Kettenregel): Sind f und g differenzierbar, so ist g \u2218 f differenzierbar und (g \u2218 f)'(x) = g'(f(x)) \u00b7 f'(x).
- Iterationen: Man bezeichnet das mehrfache Hintereinanderausführen derselben Funktion oft als f^n (n-fache Komposition), z. B. f^2 = f \u2218 f.
Hinweise zur Notation
- Die Schreibweise g \u2218 f bedeutet immer: wende zuerst f an, dann g. Das ist die übliche Konvention in der Mathematik, weshalb die Symbole entgegengesetzt zur „Lesereihenfolge“ stehen.
- Manchmal wird die Komposition auch ohne den Kreis geschrieben, etwa als g(f(x)) oder in der Algebra als Produkt g f, wobei hier Verwechslungen möglich sind—daher ist \u2218 klarer.
Zusammenfassend: Die Funktionszusammensetzung ist ein elementarer Vorgang, mit dem man neue Funktionen aus vorhandenen bildet. Sie erfordert Kompatibilität der Definitions- und Zielmengen, ist assoziativ, hat eine Identität und ist im Allgemeinen nicht kommutativ.
Eigenschaften
Die Funktionskomposition ist nachweislich assoziativ, das heißt, sie ist assoziativ:
f ∘ ( g ∘ h ) = ( f ∘ g ) ∘ h {\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h} 
Die Funktionszusammensetzung ist jedoch im Allgemeinen nicht kommutativ, das heißt, sie ist nicht kommutativ:
f ∘ g ≠ g ∘ f {\displaystyle f\circ g\neq g\circ f} 
Dies wird im ersten Beispiel deutlich, wo (g ∘ f)(2) = 2*2 - 1 = 3 und (f ∘ g)(2) = 2*(2-1) = 2.
Fragen und Antworten
F: Was ist Funktionszusammensetzung?
A: Funktionskomposition ist eine Methode, um aus zwei anderen Funktionen durch einen kettenartigen Prozess eine neue Funktion zu erzeugen.
F: Wie wird der Wert von g zusammengesetzt mit f geschrieben?
A: Der Wert von g in Verbindung mit f wird als (g ∘ f)(x) geschrieben und ist als g(f(x)) definiert.
F: Was sind einige Beispiele für Funktionen?
A: Ein Beispiel wäre eine Funktion, die eine Zahl verdoppelt (sie mit 2 multipliziert) und eine andere, die 1 von einer Zahl subtrahiert.
F: Was wäre ein Beispiel für g in Verbindung mit f?
A: Ein Beispiel für g in Verbindung mit f wäre die Funktion, die eine Zahl verdoppelt und dann 1 von ihr subtrahiert. Das ist (g ∘ f)(x)=2x-1.
F: Was wäre ein Beispiel für f in Verbindung mit g?
A: Ein Beispiel für f, das mit g zusammengesetzt ist, wäre die Funktion, die 1 von einer Zahl subtrahiert und sie dann verdoppelt; das ist (f ∘ g)(x)=2(x-1).
F: Kann Komposition auch auf binäre Beziehungen verallgemeinert werden?
A: Ja, Komposition kann auch auf binäre Relationen verallgemeinert werden, wo sie manchmal mit demselben Symbol dargestellt wird (wie in R ∘ S).
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