In der Mathematik ist die Funktionszusammensetzung eine Möglichkeit, aus zwei Funktionen eine neue Funktion zu bilden.

Seien f und g zwei Funktionen mit f: X \u2192 Y und g: Y \u2192 Z. Dann ist die Komposition von g mit f die Funktion g \u2218 f (gesprochen „g komponiert mit f“) mit Definitionsbereich X und Wertebereich in Z. Formal gilt für alle x \u2208 X:

(g \u2218 f)(x) = g(f(x)).

Wichtig ist, dass die Zielmenge (Codomain) von f mit der Definitionsmenge (Domain) von g übereinstimmen muss, damit g(f(x)) sinnvoll definiert ist. Die Reihenfolge der Anwendung ist rechts-nach-links: zuerst wird f auf x angewendet, dann g auf das Ergebnis.

Beispiel

Sei f die Funktion, die eine Zahl verdoppelt (mit 2 multipliziert), und sei g die Funktion, die 1 von einer Zahl subtrahiert.

f ( x ) = 2 x {\Anzeigestil f(x)=2x} {\displaystyle f(x)=2x}

g ( x ) = x - 1 {\Anzeigeart g(x)=x-1} {\displaystyle g(x)=x-1}

Die Komposition g \u2218 f (zuerst f, dann g) ist:

( g ∘ f ) ( x ) = 2 x - 1 {\Anzeigestil (g\circc f)(x)=2x-1} {\displaystyle (g\circ f)(x)=2x-1}

Die andere Komposition f \u2218 g (zuerst g, dann f) ergibt:

(f \u2218 g)(x) = f(g(x)) = f(x-1) = 2(x-1) = 2x - 2.

Aus dem Beispiel sieht man, dass in der Regel g \u2218 f \u2260 f \u2218 g. Die Komposition ist also im Allgemeinen nicht kommutativ.

Wichtige Eigenschaften

  • Assoziativität: Für passende Funktionen f, g, h gilt h \u2218 (g \u2218 f) = (h \u2218 g) \u2218 f. Die Reihenfolge der Auswertung bleibt dabei rechts-nach-links.
  • Neutrales Element: Für jede Menge X gibt es die Identitätsfunktion id_X : X \u2192 X mit id_X(x) = x. Es gilt f \u2218 id_X = f und id_Y \u2218 f = f für f: X \u2192 Y.
  • Inverse: Wenn f: X \u2192 Y bijektiv ist, dann existiert eine Umkehrfunktion f^{-1}: Y \u2192 X mit f^{-1} \u2218 f = id_X und f \u2218 f^{-1} = id_Y.
  • Verkettung und Ableitung (Kettenregel): Sind f und g differenzierbar, so ist g \u2218 f differenzierbar und (g \u2218 f)'(x) = g'(f(x)) \u00b7 f'(x).
  • Iterationen: Man bezeichnet das mehrfache Hintereinanderausführen derselben Funktion oft als f^n (n-fache Komposition), z. B. f^2 = f \u2218 f.

Hinweise zur Notation

  • Die Schreibweise g \u2218 f bedeutet immer: wende zuerst f an, dann g. Das ist die übliche Konvention in der Mathematik, weshalb die Symbole entgegengesetzt zur „Lesereihenfolge“ stehen.
  • Manchmal wird die Komposition auch ohne den Kreis geschrieben, etwa als g(f(x)) oder in der Algebra als Produkt g f, wobei hier Verwechslungen möglich sind—daher ist \u2218 klarer.

Zusammenfassend: Die Funktionszusammensetzung ist ein elementarer Vorgang, mit dem man neue Funktionen aus vorhandenen bildet. Sie erfordert Kompatibilität der Definitions- und Zielmengen, ist assoziativ, hat eine Identität und ist im Allgemeinen nicht kommutativ.