Komposition (Mathematik)
In der Mathematik ist die Funktionszusammensetzung eine Möglichkeit, aus zwei anderen Funktionen eine neue Funktion zu machen.
Wenn wir f eine Funktion von X bis Y und g eine Funktion von Y bis Z sein lassen, dann sagen wir, dass g, das mit f komponiert wurde, als g geschrieben wird ∘ f eine Funktion von X bis Z (beachten Sie, dass es normalerweise entgegengesetzt geschrieben wird, wie die Leute es erwarten würden, wie wir weiter unten erklären werden).
Der Wert von f mit der Eingabe x wird als f(x) geschrieben. Der Wert von g ∘ f an der Eingabe x wird geschrieben (g ∘ f)(x) und ist als g(f(x)) definiert. (was bedeutet, dass unsere Art, g mit f zu schreiben, Sinn macht).
Hier ist ein weiteres Beispiel. Sei f eine Funktion, die eine Zahl verdoppelt (mit 2 multipliziert), und sei g eine Funktion, die 1 von einer Zahl subtrahiert.
Diese würden wie geschrieben werden:
f ( x ) = 2 x {\Anzeigestil f(x)=2x} 
g ( x ) = x - 1 {\Anzeigeart g(x)=x-1} 
g komponiert mit f wäre die Funktion, die eine Zahl verdoppelt und dann von ihr 1 subtrahiert:
( g ∘ f ) ( x ) = 2 x - 1 {\Anzeigestil (g\circc f)(x)=2x-1} 
f mit g zusammengesetzt wäre die Funktion, die 1 von einer Zahl subtrahiert und diese dann verdoppelt:
Eigenschaften
Die Funktionskomposition ist nachweislich assoziativ, das heißt, sie ist assoziativ:
f ∘ ( g ∘ h ) = ( f ∘ g ) ∘ h {\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h} 
Die Funktionszusammensetzung ist jedoch im Allgemeinen nicht kommutativ, das heißt, sie ist nicht kommutativ:
f ∘ g ≠ g ∘ f {\displaystyle f\circ g\neq g\circ f} 
Dies wird im ersten Beispiel deutlich, wo (g ∘ f)(2) = 2*2 - 1 = 3 und (f ∘ g)(2) = 2*(2-1) = 2.
Fragen und Antworten
F: Was ist Funktionszusammensetzung?
A: Funktionskomposition ist eine Methode, um aus zwei anderen Funktionen durch einen kettenartigen Prozess eine neue Funktion zu erzeugen.
F: Wie wird der Wert von g zusammengesetzt mit f geschrieben?
A: Der Wert von g in Verbindung mit f wird als (g ∘ f)(x) geschrieben und ist als g(f(x)) definiert.
F: Was sind einige Beispiele für Funktionen?
A: Ein Beispiel wäre eine Funktion, die eine Zahl verdoppelt (sie mit 2 multipliziert) und eine andere, die 1 von einer Zahl subtrahiert.
F: Was wäre ein Beispiel für g in Verbindung mit f?
A: Ein Beispiel für g in Verbindung mit f wäre die Funktion, die eine Zahl verdoppelt und dann 1 von ihr subtrahiert. Das ist (g ∘ f)(x)=2x-1.
F: Was wäre ein Beispiel für f in Verbindung mit g?
A: Ein Beispiel für f, das mit g zusammengesetzt ist, wäre die Funktion, die 1 von einer Zahl subtrahiert und sie dann verdoppelt; das ist (f ∘ g)(x)=2(x-1).
F: Kann Komposition auch auf binäre Beziehungen verallgemeinert werden?
A: Ja, Komposition kann auch auf binäre Relationen verallgemeinert werden, wo sie manchmal mit demselben Symbol dargestellt wird (wie in R ∘ S).
