Gammafunktion
In der Mathematik ist die Gammafunktion (Γ(z)) eine Erweiterung der Fakultätenfunktion auf alle komplexen Zahlen außer negativen ganzen Zahlen. Für positive ganze Zahlen ist sie definiert als Γ ( n ) = ( n - 1 ) ! {\Darstellungsweise \Gamma (n)=(n-1)! } 
Die Gammafunktion ist für alle komplexen Zahlen definiert. Sie ist jedoch nicht für negative ganze Zahlen und Null definiert. Für eine komplexe Zahl, deren Realteil keine negative ganze Zahl ist, ist die Funktion definiert durch:
Die Gammafunktion entlang eines Teils der realen Achse
Eigenschaften
Besondere Werte
Einige besondere Werte der Gammafunktion sind:
Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2.363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3.544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1.772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0.88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1.32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3.32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}}{\sqrt {\pi }}&\ca. 2.363271801207\\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\ca. -3.544907701811\\\\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\ca. 1.772453850905\\\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{{\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{\frac {\sqrt {\pi }}&\ca. 1,32934038818\\\\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {\frac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\ca. 3.32335097045\\\\\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\\\end{array}}} 
Pi-Funktion
Gauß führte die Pi-Funktion ein. Dies ist eine andere Art, die Gammafunktion zu bezeichnen. In Bezug auf die Gammafunktion ist die Pi-Funktion
Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t z + 1 d t t t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{{-t}t^{z+1}\,{\frac {{{{\rm {d}}}t}{t}}},} 
damit
Π ( n ) = n ! {\Anzeigestil \Pi (n)=n!\,,} 
für jede nicht-negative ganze Zahl n.
Bewerbungen
Analytische Zahlentheorie
Die Gammafunktion wird zur Untersuchung der Riemannschen Zeta-Funktion verwendet. Eine Eigenschaft der Riemannschen Zeta-Funktion ist ihre Funktionsgleichung:
Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . {\displaystyle \Gamma \links({\frac {s}{2}}\rechts)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \links({\frac {1-s}{2}}\rechts)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}. } 
Bernhard Riemann fand einen Zusammenhang zwischen diesen beiden Funktionen. Dies geschah 1859 in der Arbeit "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("On the Number of Prime Numbers less than a Given Quantity")
ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t t . {\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{{t}-1}}}\;{\frac {dt}{t}}}}. } 
Fragen und Antworten
F: Was ist die Gamma-Funktion in der Mathematik?
A: Die Gammafunktion ist ein zentrales Thema im Bereich der speziellen Funktionen in der Mathematik.
F: Was ist die Erweiterung der Fakultät auf alle komplexen Zahlen außer negativen ganzen Zahlen?
A: Die Gamma-Funktion ist eine Erweiterung der Fakultät auf alle komplexen Zahlen außer negativen ganzen Zahlen.
Q: Wie ist die Gammafunktion für positive ganze Zahlen definiert?
A: Für positive ganze Zahlen ist die Gammafunktion definiert als Γ(n) = (n-1)!
F: Ist die Gammafunktion für alle komplexen Zahlen definiert?
A: Ja, die Gamma-Funktion ist für alle komplexen Zahlen definiert.
F: Ist die Gammafunktion für negative ganze Zahlen und Null definiert?
A: Nein, die Gammafunktion ist nicht für negative ganze Zahlen und Null definiert.
F: Wie ist die Gammafunktion für eine komplexe Zahl definiert, deren Realteil keine negative ganze Zahl ist?
A: Die Gamma-Funktion wird für eine komplexe Zahl, deren Realteil keine negative ganze Zahl ist, durch eine spezielle Formel definiert, die im Text nicht angegeben wird.
Q: Warum ist die Gammafunktion in der Mathematik wichtig?
A: Die Gamma-Funktion ist in der Mathematik wichtig, weil sie ein Schlüsselthema auf dem Gebiet der speziellen Funktionen ist und die Fakultät auf alle komplexen Zahlen außer negativen ganzen Zahlen erweitert.
