Georg Friedrich Bernhard Riemann (geb. 17. September 1826 bei Hannover; gest. 20. Juli 1866 Selasca, Italien) war ein deutscher Mathematiker. Er hatte ein kurzes Leben und schrieb nicht sehr viel über seine Entdeckungen auf, aber die Dinge, die er entdeckte, waren alle äußerst wichtig und hatten eine revolutionäre Wirkung auf die Mathematik. Er trug zu vielen Bereichen der Mathematik bei, wie z.B. Analyse, Geometrie, mathematische Physik und Zahlentheorie. Heute sehen ihn viele Menschen als einen großen Mathematiker. Er gehörte zu den ersten Mathematikern, die sich mit komplexer Analyse befassten. Die Art von Geometrie, mit der er begann (die heute als Riemannsche Geometrie bezeichnet wird), ist eine der Grundlagen der Relativitätstheorie, die von Albert Einstein entwickelt wurde.

Leben

Bernhard Riemann wuchs in bescheidenen Verhältnissen auf und zeigte schon früh mathematisches Talent. Er studierte in Göttingen und verbrachte später einige Zeit in Berlin; wichtige Einflüsse waren Carl Friedrich Gauss (Göttingen) und Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Berlin). Riemann war zeitlebens kränklich; er litt an Tuberkulose und reiste mehrfach zur Genesung nach Italien, wo er 1866 in Selasca starb. Sein wissenschaftlicher Nachlass wurde erst nach seinem frühen Tod gründlich ausgewertet und veröffentlicht, weshalb viele seiner Ideen erst nachträglich vollständig erkannt und weiterentwickelt wurden.

Wesentliche Beiträge

  • Riemannsche Geometrie: Einführung des Konzepts einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit mit einer Metrik (Riemannsche Metrik) und einer lokalen Beschreibung von Krümmung. Diese Ideen bilden eine zentrale Grundlage der modernen Geometrie und der allgemeinen Relativitätstheorie.
  • Riemannsche Fläche: Systematische Einführung von mehrblättrigen Flächen zur Behandlung von mehrwertigen Funktionen der komplexen Variable. Daraus ergeben sich wichtige Begriffe wie Topologie (Geschlecht, also die Anzahl der "Löcher") und Verzweigungen, die bis heute zentrale Werkzeuge der komplexen Analysis und algebraischen Geometrie sind.
  • Riemannsche Vermutung (Riemannsche Zeta-Funktion): Riemann untersuchte die Zeta-Funktion ζ(s) und stellte tiefgreifende Vermutungen über die Lage ihrer Nullstellen auf (die berühmte Riemannsche Vermutung). Die Untersuchung der Verteilung der Primzahlen in seinem Aufsatz verbindet Analysis und Zahlentheorie und ist bis heute eines der wichtigsten offenen Probleme der Mathematik.
  • Riemannintegral: Formulierung des Integrals mittels Grenzwerten von Summen (Riemann-Summen). Dieses Integral ist Grundlage der klassischen Analysis; spätere Erweiterungen (z. B. das Lebesgue-Integral) bauen darauf auf oder erweitern seine Anwendbarkeit.
  • Riemannsche Abbildungs­satz (Riemann Mapping Theorem): Ein fundamentaler Satz der komplexen Analysis, der besagt, dass jede einfach zusammenhängende, nicht ganze Ebene umfassende Gebietskarte konform auf die Einheitskreisscheibe abgebildet werden kann. Dieser Satz hat weitreichende Konsequenzen für die Theorie konformer Abbildungen.
  • Riemann–Roch-Theorem: Ein zentrales Resultat in der algebraischen Geometrie, das die Anzahl von Funktionen mit vorgegebenen Null- und Polstellen auf einer algebraischen Kurve mit geometrischen Invarianten der Kurve verknüpft.
  • Dirichletsches Prinzip und Potentialtheorie: Riemann verwendete das Dirichletsche Prinzip in der Potentialtheorie und in der Funktionentheorie; die Rechtfertigung dieses Prinzips führte später zu wichtigen Entwicklungen in der Variationsrechnung und Funktionalanalysis.
  • Beiträge zur mathematischen Physik: Riemanns Methoden und Formulierungen beeinflussten die mathematische Behandlung von Wellengleichungen, Potentialproblemen und später auch die geometrische Formulierung physikalischer Theorien.

Bedeutung und Wirkung

Obwohl Riemann selbst nur relativ wenige Arbeiten und nur wenige ausführliche Erklärungen hinterließ, haben seine Ideen die mathematische Forschung tiefgreifend beeinflusst. Viele Begriffe, die heute zum Standardrepertoire zählen (Riemannsche Fläche, Riemannsche Metrik, Riemannsche Zeta-Funktion), stammen von ihm oder wurden von seinen Einsichten angeregt. Seine Arbeit verknüpft Analysis, Topologie und Geometrie auf neue Weise und öffnete Wege zur modernen Differentialgeometrie und zur algebraischen Geometrie.

Die Riemannsche Geometrie ist nicht nur rein mathematisch von zentraler Bedeutung, sondern bildete später die geometrische Grundlage für Albert Einsteins allgemeine Relativitätstheorie. In der Zahlentheorie führte Riemanns Untersuchung der Zeta-Funktion zu einer Reihe von weiterführenden Fragestellungen, die bis heute aktiv erforscht werden.

Riemanns Werk wurde nach seinem Tod von Zeitgenossen und späteren Mathematikern aufgearbeitet und erweitert. Viele seiner Ideen fanden erst Jahre oder Jahrzehnte später die volle Anerkennung, als sich die nötigen technischen Werkzeuge und Sichtweisen herausbildeten.

Kurze Zusammenfassung

  • Geboren/gestorben: 1826–1866
  • Wichtigste Felder: komplexe Analysis, Differentialgeometrie, Zahlentheorie, mathematische Physik
  • Bekannt für: Riemannsche Flächen, Riemannsche Geometrie, Riemannsche Zeta-Funktion, Riemann–Roch-Theorem, Riemannintegral
  • Einfluss: Grundlegend für moderne Geometrie und für die mathematische Formulierung physikalischer Theorien, insbesondere der Relativitätstheorie.