Riemannsche Vermutung

Was ist die Riemannsche Zeta-Funktion?

Die Riemannsche Zeta-Funktion ist eine Art Funktion. Funktionen sind Dinge in der Mathematik wie Gleichungen. Funktionen nehmen Zahlen auf und geben Ihnen andere Zahlen zurück. Auf diese Weise erhalten Sie eine Antwort zurück, wenn Sie eine Frage stellen. Die Zahl, die Sie eingeben, wird als "Eingabe" bezeichnet. Die Zahl, die Sie zurückbekommen, wird als "Wert" bezeichnet. Jede Eingabe, die Sie in die Riemannsche Zeta-Funktion eingeben, gibt Ihnen einen bestimmten Wert zurück. Meistens erhalten Sie für jede Eingabe einen anderen Wert. Aber jede Eingabe gibt Ihnen jedes Mal, wenn Sie sie verwenden, den gleichen Wert zurück. Sowohl die Eingabe, die Sie in die Riemannsche Zeta-Funktion eingeben, als auch der Wert, den Sie von der Riemannschen Zeta-Funktion erhalten, sind spezielle Zahlen, die komplexe Zahlen genannt werden. Eine komplexe Zahl ist eine Zahl mit zwei Teilen.

Was ist eine nicht-triviale Wurzel?

Wenn Sie eine Eingabe in die Riemannsche Zeta-Funktion machen, erhalten Sie manchmal die Zahl Null zurück. Wenn dies geschieht, nennen Sie diese Eingabe eine Wurzel der Riemannschen Zeta-Funktion. Sie bezeichnen die Eingabe als "Wurzel", wenn sie die Zahl Null ergibt. Es wurden viele Wurzeln gefunden. Aber einige Wurzeln sind leichter zu finden als andere. Wir nennen die Wurzeln "trivial" oder "nicht-trivial". Wir nennen eine Wurzel "trivial", wenn sie leicht zu finden ist. Aber wir nennen eine Wurzel "nicht-trivial", wenn sie schwer zu finden ist. Die trivialen Wurzeln sind Zahlen, die "negative gerade ganze Zahlen" genannt werden. Wir glauben, dass sie leicht zu finden sind, weil sie leicht zu finden sind. Es gibt saubere Regeln, die sagen, was die trivialen Wurzeln sind. Wir wissen, was die trivialen Wurzeln sind, aufgrund der Gleichung, die Bernhard Riemann gegeben hat. Diese Gleichung wurde "Riemannsche Funktionsgleichung" genannt.

Wie finden wir nicht-triviale Wurzeln?

Die nicht-trivialen Wurzeln sind schwieriger zu finden. Sie sind schwieriger zu finden als die trivialen Wurzeln. Sie haben nicht die gleichen sauberen Regeln, die sagen, was sie sind. Auch wenn sie schwer zu finden sind, wurden viele nicht-triviale Wurzeln gefunden. Denken Sie daran, dass der Wert der Riemannschen Zeta-Funktion eine Art von Zahl war, die als komplexe Zahl bezeichnet wird. Und denken Sie daran, dass komplexe Zahlen aus zwei Teilen bestehen. Einer dieser Teile wird als "Realteil" bezeichnet. Uns ist eine interessante Sache über den Realteil der nicht-trivialen Wurzeln aufgefallen. Alle nicht-trivialen Wurzeln, die wir gefunden haben, haben einen Realteil, der die gleiche Zahl ist. Diese Zahl ist 1/2, was ein Bruchteil ist. Damit kommen wir zu Riemanns großer Frage, nämlich der, wie groß die Realteile sind. Diese Frage ist die Riemannsche Hypothese. Die Frage lautet: "Haben alle nicht-trivialen Wurzeln den Realteil 1/2? Wir versuchen immer noch herauszufinden, ob die Antwort "ja" oder "nein" lautet.

Wir wissen die Antwort auf die Frage noch nicht. Aber wir kennen einige gute Fakten. Diese Fakten könnten uns helfen. Es gibt einen Weg, wie wir Fakten über die wirklichen Teile der nicht-trivialen Wurzeln finden können. Dies geschieht mit der speziellen Riemannschen Gleichung (Riemannsche Funktionsgleichung). Die Riemannsche Funktionsgleichung sagt uns etwas über die Größe der Realteile aus. Sie besagt, dass alle nicht-trivialen Nullen einen Realteil nahe 1/2 haben. Sie sagt aus, wie klein die Realteile sein können und wie groß sie sein können. Aber sie sagt nicht genau aus, wie groß sie sind. Es besagt insbesondere, dass die Realteile größer als 0 sein müssen, aber sie müssen kleiner als 1 sein. Aber wir wissen immer noch nicht, ob es eine nicht-triviale Wurzel mit einem Realteil sehr nahe bei 1/2 geben könnte. Vielleicht gibt es eine, aber wir haben sie noch nicht gefunden. Die Gruppe der komplexen Zahlen, deren Realteil größer als 0, aber kleiner als 1 ist, wird als "kritischer Streifen" bezeichnet.

Das Bild in der rechten oberen Ecke dieser Seite zeigt die Riemannsche Zeta-Funktion. Die nicht-trivialen Wurzeln sind mit den weißen Punkten dargestellt. Sie sehen aus, als befänden sie sich alle in einer Linie ganz in der Mitte des Bildes. Sie befinden sich nicht zu weit links und nicht zu weit rechts. Der eigentliche Teil ist, wie weit von links nach rechts Sie sich befinden. In der Mitte des Bildes zu sein bedeutet, dass sie einen realen Teil von 1/2 haben. Alle nicht-trivialen Wurzeln im Bild haben also einen Realteil von 1/2. Aber unser Bild zeigt nicht alles, weil die Riemannsche Zeta-Funktion zu groß ist, um sie zu zeigen. Was ist also mit den nicht-trivialen Wurzeln oberhalb und unterhalb des Bildes? Würden sie sich auch in der Mitte befinden? Was, wenn sie das Muster der Mitte durchbrechen? Sie könnten leicht nach links oder rechts verlaufen. Die Riemann-Hypothese fragt, ob jede nicht-triviale Wurzel (weißer Punkt) auf der Linie unterhalb der Mitte liegen würde. Wenn die Antwort nein lautet, sagen wir, die "Hypothese ist falsch". Dies würde bedeuten, dass es weiße Punkte gäbe, die nicht auf der angegebenen Linie liegen.