Identitätsgleichung
Für andere Bedeutungen dieses Wortes siehe Identität.
In der Mathematik hat der Begriff Identität mehrere wichtige Verwendungen:
- Eine Identität ist eine Gleichheit, die auch dann wahr bleibt, wenn Sie alle Variablen ändern, die in dieser Gleichheit verwendet werden.
Eine Gleichheit im mathematischen Sinne ist nur unter besonderen Bedingungen gegeben. Dafür wird manchmal das Symbol ≡ verwendet. (Dies kann jedoch zu Missverständnissen führen, da dasselbe Symbol auch für eine Kongruenzbeziehung verwendet werden kann).
Beispiele
Beziehung zur Identität
Ein gängiges Beispiel für die erste Bedeutung ist die trigonometrische Identität
sin 2 θ + cos 2 θ = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\\theta =1\,} 
was für alle realen Werte von θ {\displaystyle \theta } zutrifft. 
(da die reellen Zahlen R {\displaystyle {\mathbb {R}}} die Domäne von Sünde und cos 
sind), im Gegensatz zu
cos θ = 1 , {\displaystyle \cos \theta =1,\,} 
was nur für Werte von θ {\displaystyle \theta } in einer Teilmenge der Domäne zutrifft.
Identitäts-Element
Die Konzepte der "additiven Identität" und der "multiplikativen Identität" sind von zentraler Bedeutung für die Peano-Axiome. Die Zahl 0 ist die "additive Identität" für ganze Zahlen, reelle Zahlen und komplexe Zahlen. Für die reellen Zahlen, für alle eine ∈ R , {\darstellungsstil a\in {\mathbb {R}},} 
0 + a = a , {\Anzeigestil 0+a=a,\,} 
a + 0 = a , {\Anzeigestil a+0=a,\,} 
und
0 + 0 = 0. {\Anzeigestil 0+0=0.\,} 
In ähnlicher Weise ist die Zahl 1 die "multiplikative Identität" für ganze Zahlen, reelle Zahlen und komplexe Zahlen. Für die reellen Zahlen, für alle eine ∈ R , {\darstellungsstil a\in {\mathbb {R}},}
1 × a = a , {\Anzeigestil 1\mal a=a,\,} 
a × 1 = a , {\Anzeigestil a\ mal 1=a,\,} 
und
1 × 1 = 1. {\Anzeigestil 1\mal 1=1.\,} 
Identitäts-Funktion
Ein gängiges Beispiel für eine Identitätsfunktion ist die Identitätspermutation, die jedes Element der Menge { 1 , 2 , ... , n } {\1,2,2,\ldots ,n\}}}für sich selbst.
Vergleich
Diese Bedeutungen schließen sich nicht gegenseitig aus; zum Beispiel ist die Identitätspermutation das Identitätselement in der Menge der Permutationen von { 1 , 2 , ... , n } {\1,2,\ldots ,n\}}}inBearbeitung.
Fragen und Antworten
F: Was ist eine Identität in der Mathematik?
A: Eine Identität in der Mathematik ist eine Gleichheit, die auch dann wahr bleibt, wenn man alle Variablen, die in dieser Gleichheit verwendet werden, ändert.
F: Wann ist eine Gleichheit im mathematischen Sinne nur wahr?
A: Eine Gleichheit im mathematischen Sinne ist nur unter ganz bestimmten Bedingungen wahr.
F: Was ist das Symbol für eine Identität?
A: Das Symbol, das für eine Identität verwendet wird, ist nicht festgelegt, aber es ist wahrscheinlich, dass das Gleichheitszeichen (=) verwendet wird.
F: Welches Symbol wird für eine Kongruenzbeziehung verwendet?
A: Das Symbol für eine Kongruenzrelation ist dasselbe wie das Symbol für eine Identität, d. h. ≡.
F: Wie viele wichtige Verwendungen hat der Begriff "Identität" in der Mathematik?
A: Der Begriff Identität wird in der Mathematik in mehreren wichtigen Bereichen verwendet.
F: Was ist der Unterschied zwischen einer Identität und einer Gleichheit im mathematischen Sinne?
A: Eine Identität bleibt wahr, auch wenn man alle Variablen ändert, die in dieser Gleichheit verwendet werden, während eine Gleichheit im mathematischen Sinne nur unter bestimmten Bedingungen wahr ist.
F: Wird für eine Identität und eine Kongruenzbeziehung das gleiche Symbol verwendet?
A: Ja, das gleiche Symbol (≡) kann für eine Identität und eine Kongruenzrelation verwendet werden.
