Polares Trägheitsmoment

Hinweis: Verschiedene Disziplinen verwenden den Begriff Trägheitsmoment, um unterschiedliche Momente zu bezeichnen. In der Physik ist das Trägheitsmoment streng genommen das zweite Massenmoment in Bezug auf den Abstand von einer Achse, das die Winkelbeschleunigung eines Objekts aufgrund eines aufgebrachten Drehmoments charakterisiert. In der Technik (insbesondere im Maschinenbau und im Bauwesen) bezieht sich das Trägheitsmoment üblicherweise auf das zweite Flächenmoment. Wenn Sie das polare Trägheitsmoment ablesen, achten Sie darauf, dass es sich auf das "polare zweite Flächenmoment" und nicht auf das Trägheitsmoment bezieht. Das polare zweite Flächenträgheitsmoment hat Längeneinheiten in der vierten Potenz (z.B. m 4 {\Anzeigeart m^{4}} $m^{4}$ oder i n 4 {\Anzeigeart in^{4}} $in^{4}$ ), während das Trägheitsmoment Masse mal Länge im Quadrat ist (z.B. k g ∗ m 2 {\Anzeigeart kg*m^{2}} $kg*m^{2}$ oder l b ∗ i n 2 {\Anzeigeart lb*in^{2}}} $lb*in^{2}$ ).

Das polare zweite Flächenmoment (auch als "polares Trägheitsmoment" bezeichnet) ist ein Maß für die Fähigkeit eines Objekts, der Torsion in Abhängigkeit von seiner Form zu widerstehen. Es ist ein Aspekt des zweiten Flächenmoments, das durch den Satz der senkrechten Achse verknüpft ist, wobei das planare zweite Flächenmoment die Querschnittsform eines Trägers verwendet, um seinen Widerstand gegen Verformung (Biegung) zu beschreiben, wenn eine Kraft in einer Ebene parallel zu seiner neutralen Achse aufgebracht wird, das polare zweite Flächenmoment die Querschnittsform eines Trägers verwendet, um seinen Widerstand gegen Verformung (Torsion) zu beschreiben, wenn ein Moment (Drehmoment) in einer Ebene senkrecht zur neutralen Achse des Trägers aufgebracht wird. Während das planare zweite Flächenmoment am häufigsten mit dem Buchstaben I {\darstellungsart I} bezeichnet wird, wird das polare zweite Flächenmoment am häufigsten mit I z {\darstellungsart I_{z}} bezeichnet. $I_{z}$ oder der Buchstabe J, Anzeigestil J $J$ in technischen Lehrbüchern.

Die berechneten Werte für das polare zweite Flächenmoment werden am häufigsten verwendet, um den Torsionswiderstand einer massiven oder hohlen zylindrischen Welle zu beschreiben, wie z.B. bei einer Fahrzeugachse oder einer Antriebswelle. Bei Anwendung auf nicht-zylindrische Balken oder Wellen werden die Berechnungen für das polare zweite Flächenmoment durch Verwölbung der Welle/des Balkens fehlerhaft. In diesen Fällen sollte eine Torsionskonstante verwendet werden, wobei eine Korrekturkonstante zur Berechnung des Wertes hinzugefügt wird.

Das polare zweite Flächenmoment trägt die Längeneinheiten zur vierten Potenz ( L 4 {\darstellungsart L^{4}} $L^{4}$ ); Meter zur vierten Potenz ( m 4 {\darstellungsart m^{4}}} $m^{4}$ ) im metrischen Einheitensystem und Zoll zur vierten Potenz ( i n 4 {\darstellungsart in^{4}}} $in^{4}$ ) im imperialen Einheitensystem. Die mathematische Formel für die direkte Berechnung wird als ein mehrfaches Integral über die Fläche einer Form angegeben, R {\darstellungsart R} $R$ in einem Abstand ρ {\darstellungsstil \rho } $\rho$ von einer beliebigen Achse O {\darstellungsstil O} $O$ .

J O = ∬ R ρ 2 d A {\Anzeigestil J_{O}=\iint \begrenzt _{R}\rho ^{2}dA} $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$ .

In der einfachsten Form ist das polare zweite Flächenmoment eine Summierung der beiden planaren zweiten Flächenmomente I x {\darstellungsstil I_{x}} $I_{x}$ und I y {\darstellungsstil I_{y}} $I_{y}$ . Unter Verwendung des Satzes des Pythagoras wird der Abstand von Achse O {\darstellungsstil O} $O$ , ρ {\rho \rho \rho } $\rho$ kann in seine Komponenten x {\Anzeigestil x} $x$ und y {\Anzeigestil y} $y$ zerlegt werden, und die Änderung der Fläche, d A {\Anzeigestil dA} $dA$ , unterteilt in seine Komponenten x {\Darstellungsstil x} $x$ und y {\Darstellungsstil y} $y$ , d x {\Darstellungsstil dx} $dx$ und d y {\Darstellungsstil dy} $dy$ .

Angesichts der beiden Formeln für die planaren zweiten Flächenmomente:

I x = ∬ R x 2 d x d y {\Anzeigestil I_{x}=\iint \Grenzwerte _{R}x^{2}dxdy} $I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy$ und I y = ∬ R y 2 d x d y {\Anzeigestil I_{y}=\iint \begrenzt _{R}y^{2}dxdy} $I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

Die Beziehung zum polaren zweiten Flächenmoment kann wie folgt dargestellt werden:

J O = ∬ R ρ 2 d A {\Anzeigestil J_{O}=\iint \begrenzt _{R}\rho ^{2}dA} $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\Anzeigestil J_{O}=\iint \begrenzt _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy} $J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy$

J O = ∬ R x 2 d x d y + ∬ R y 2 d x d y {\darstellungsstil J_{O}=\iint \begrenzt _{R}x^{2}dxdy+\iint \begrenzt _{R}y^{2}dxdy} $J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

∴ J = I x + I y {\Anzeigestil \daher J=I_{x}+I_{y}}} $\therefore J=I_{x}+I_{y}$

Im Wesentlichen wird mit zunehmender Größe des polaren zweiten Flächenmoments (d.h. große Querschnittsform des Objekts) mehr Drehmoment erforderlich sein, um eine Torsionsauslenkung des Objekts zu bewirken. Es ist jedoch zu beachten, dass dies keinen Einfluss auf die Torsionssteifigkeit hat, die einem Objekt durch seine Materialien verliehen wird; das polare zweite Flächenmoment ist einfach die Steifigkeit, die einem Objekt allein durch seine Form verliehen wird. Die Torsionssteifigkeit, die sich aus den Materialeigenschaften ergibt, wird als Schubmodul, G {\darstellungsart G} $G$ , bezeichnet. Wenn man diese beiden Komponenten der Steifigkeit miteinander verbindet, kann man den Verdrehungswinkel eines Balkens berechnen, θ {\displaystyle \theta } $\theta$ verwenden:

θ = T l J G {\displaystyle \theta ={\frac {Tl}{JG}}}} $\theta ={\frac {Tl}{JG}}$

Dabei ist T {\Anzeigestil T} $T$ das angewandte Moment (Drehmoment) und l {\Anzeigestil l} $l$ die Länge des Trägers. Wie gezeigt, führen höhere Drehmomente und Trägerlängen zu höheren Winkelablenkungen, wobei höhere Werte für das polare zweite Flächenmoment J {\Anzeigestil J} $J$ und Materialschubmodul, G {\Darstellungsart G} $G$ reduziert das Potenzial für Winkelablenkungen.

Ein Schema, das zeigt, wie das polare zweite Flächenträgheitsmoment ("polares Trägheitsmoment") für eine beliebige Flächenform R um eine Achse o berechnet wird, wobei ρ der radiale Abstand zum Element dA ist.

Fragen und Antworten

F: Was ist das Trägheitsmoment in der Physik?

A: In der Physik ist das Trägheitsmoment streng genommen das zweite Moment der Masse in Bezug auf den Abstand von einer Achse, das die Winkelbeschleunigung eines Objekts aufgrund eines angelegten Drehmoments charakterisiert.

Q: Worauf bezieht sich das polare zweite Flächenmoment in der Technik?

A: In der Technik (insbesondere im Maschinenbau und im Bauwesen) bezieht sich das Trägheitsmoment im Allgemeinen auf das zweite Moment der Fläche. Wenn Sie das polare Trägheitsmoment lesen, achten Sie darauf, dass es sich um das "polare zweite Flächenmoment" und nicht um das Trägheitsmoment handelt. Das polare zweite Flächenträgheitsmoment hat die Einheit der Länge in der vierten Potenz (z.B. m^4 oder in^4).

F: Wie berechnet man ein polares zweites Flächenmoment?

A: Die mathematische Formel für die direkte Berechnung wird als mehrfaches Integral über die Fläche R einer Form in einem Abstand ρ von einer beliebigen Achse O angegeben: J_O=∬Rρ2dA. In der einfachsten Form ist die polare Sekunde