Primzahlsatz
Der Primzahlsatz ist ein Satz aus der Zahlentheorie. Primzahlen sind nicht gleichmäßig über den Zahlenbereich verteilt. Das Theorem formalisiert die Idee, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl zwischen 1 und einer gegebenen Zahl zu treffen,…
Der Primzahlsatz ist ein Satz aus der Zahlentheorie. Primzahlen sind nicht gleichmäßig über den Zahlenbereich verteilt. Das Theorem formalisiert die Idee, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl zwischen 1 und einer gegebenen Zahl zu treffen, mit wachsender Zahl kleiner wird. Diese Wahrscheinlichkeit liegt bei n/ln(n), wobei ln(n) die natürliche Logarithmusfunktion ist. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl mit 2n Ziffern zu treffen, etwa halb so groß ist wie bei n Ziffern. Zum Beispiel ist von den positiven ganzen Zahlen mit höchstens 1000 Stellen etwa eine von 2300 Primzahlen (ln 101000 ≈ 2302.6), während von den positiven ganzen Zahlen mit höchstens 2000 Stellen etwa eine von 4600 Primzahlen ist (ln 102000 ≈ 4605.2). Mit anderen Worten, der durchschnittliche Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen unter den ersten N ganzen Zahlen beträgt ungefähr ln(N).
Der fünfzehnjährige Carl Friedrich Gauß vermutete 1793, dass es einen Zusammenhang zwischen Primzahlen und Logarithmen gibt. Auch Adrien-Marie Legendre vermutete 1798 einen solchen Zusammenhang. Jacques Hadamard und Charles-Jean de La Vallée Poussin bewiesen 1896, mehr als ein Jahrhundert nach Gauß, den Primzahlsatz.
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Fragen und Antworten
F: Was ist das Primzahlentheorem?
A: Der Primzahlensatz ist ein Theorem aus der Zahlentheorie, das erklärt, wie Primzahlen über den Zahlenbereich verteilt sind.
F: Sind Primzahlen gleichmäßig über den Zahlenbereich verteilt?
A: Nein, Primzahlen sind nicht gleichmäßig über den Zahlenbereich verteilt.
F: Was wird durch den Primzahlensatz formalisiert?
A: Der Primzahlensatz formalisiert die Idee, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl zwischen 1 und einer bestimmten Zahl zu treffen, mit zunehmender Zahl kleiner wird.
F: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl zwischen 1 und einer bestimmten Zahl zu finden?
A: Die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl zwischen 1 und einer bestimmten Zahl zu finden, beträgt etwa n/ln(n), wobei ln(n) die Funktion des natürlichen Logarithmus ist.
F: Ist die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl mit 2n Ziffern zu treffen, größer als die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl mit n Ziffern zu treffen?
A: Nein, die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl mit 2n Ziffern zu treffen, ist etwa halb so groß wie die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl mit n Ziffern zu treffen.
F: Wer hat das Primzahltheorem bewiesen?
A: Jacques Hadamard und Charles-Jean de La Vallée Poussin bewiesen den Primzahlensatz im Jahr 1896, mehr als ein Jahrhundert nachdem Gauß 1793 einen Zusammenhang zwischen Primzahlen und Logarithmen vermutete.
F: Wie groß ist der durchschnittliche Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen unter den ersten N ganzen Zahlen?
A: Der durchschnittliche Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen unter den ersten N ganzen Zahlen ist ungefähr ln(N).
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Autor
AlegsaOnline.com Primzahlsatz Leandro Alegsa
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