Primzahlsatz
Der Primzahlsatz ist ein Satz aus der Zahlentheorie. Primzahlen sind nicht gleichmäßig über den Zahlenbereich verteilt. Das Theorem formalisiert die Idee, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl zwischen 1 und einer gegebenen Zahl zu treffen, mit wachsender Zahl kleiner wird. Diese Wahrscheinlichkeit liegt bei n/ln(n), wobei ln(n) die natürliche Logarithmusfunktion ist. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl mit 2n Ziffern zu treffen, etwa halb so groß ist wie bei n Ziffern. Zum Beispiel ist von den positiven ganzen Zahlen mit höchstens 1000 Stellen etwa eine von 2300 Primzahlen (ln 101000 ≈ 2302.6), während von den positiven ganzen Zahlen mit höchstens 2000 Stellen etwa eine von 4600 Primzahlen ist (ln 102000 ≈ 4605.2). Mit anderen Worten, der durchschnittliche Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen unter den ersten N ganzen Zahlen beträgt ungefähr ln(N).
Der fünfzehnjährige Carl Friedrich Gauß vermutete 1793, dass es einen Zusammenhang zwischen Primzahlen und Logarithmen gibt. Auch Adrien-Marie Legendre vermutete 1798 einen solchen Zusammenhang. Jacques Hadamard und Charles-Jean de La Vallée Poussin bewiesen 1896, mehr als ein Jahrhundert nach Gauß, den Primzahlsatz.
Fragen und Antworten
F: Was ist das Primzahlentheorem?
A: Der Primzahlensatz ist ein Theorem aus der Zahlentheorie, das erklärt, wie Primzahlen über den Zahlenbereich verteilt sind.
F: Sind Primzahlen gleichmäßig über den Zahlenbereich verteilt?
A: Nein, Primzahlen sind nicht gleichmäßig über den Zahlenbereich verteilt.
F: Was wird durch den Primzahlensatz formalisiert?
A: Der Primzahlensatz formalisiert die Idee, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl zwischen 1 und einer bestimmten Zahl zu treffen, mit zunehmender Zahl kleiner wird.
F: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl zwischen 1 und einer bestimmten Zahl zu finden?
A: Die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl zwischen 1 und einer bestimmten Zahl zu finden, beträgt etwa n/ln(n), wobei ln(n) die Funktion des natürlichen Logarithmus ist.
F: Ist die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl mit 2n Ziffern zu treffen, größer als die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl mit n Ziffern zu treffen?
A: Nein, die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl mit 2n Ziffern zu treffen, ist etwa halb so groß wie die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl mit n Ziffern zu treffen.
F: Wer hat das Primzahltheorem bewiesen?
A: Jacques Hadamard und Charles-Jean de La Vallée Poussin bewiesen den Primzahlensatz im Jahr 1896, mehr als ein Jahrhundert nachdem Gauß 1793 einen Zusammenhang zwischen Primzahlen und Logarithmen vermutete.
F: Wie groß ist der durchschnittliche Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen unter den ersten N ganzen Zahlen?
A: Der durchschnittliche Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen unter den ersten N ganzen Zahlen ist ungefähr ln(N).
