Kontinuumshypothese
Die Kontinuumshypothese ist eine Hypothese, dass es keine Menge gibt, die sowohl größer als die der natürlichen Zahlen als auch kleiner als die der reellen Zahlen ist. Georg Cantor stellte diese Hypothese 1877 auf.
Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen, die Kardinalität der Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich. Dies gilt auch für die Menge der Reellen Zahlen, aber es gibt mehr Reellen Zahlen als Natürliche Zahlen. Wir sagen, dass die Natürlichen Zahlen eine unendliche Kardinalität und die Reellen Zahlen eine unendliche Kardinalität haben, aber die Kardinalität der Reellen Zahlen ist größer als die Kardinalität der Natürlichen Zahlen.
Diese Hypothese ist das erste Problem auf der Liste der 23 Probleme, die David Hilbert 1900 veröffentlichte. Kurt Gödel zeigte 1939, dass die Hypothese mit Hilfe der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre nicht verfälscht werden kann. Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ist die in der Mathematik gebräuchliche Mengenlehre. Paul Cohen zeigte in den 1960er Jahren, dass die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre auch nicht zum Beweis der Kontinuumshypothese verwendet werden kann. Dafür wurde Cohen mit der Fields-Medaille ausgezeichnet.
Fragen und Antworten
F: Was ist die Kontinuumshypothese?
A: Die Kontinuumshypothese ist die Hypothese, dass es keine Menge gibt, die sowohl größer als die der natürlichen Zahlen als auch kleiner als die der reellen Zahlen ist.
F: Wer hat die Kontinuumshypothese aufgestellt und wann?
A: Georg Cantor stellte die Kontinuumshypothese im Jahr 1877 auf.
F: Gibt es unendlich viele natürliche Zahlen?
A: Ja, es gibt unendlich viele natürliche Zahlen.
F: Was ist die Kardinalität der Menge der natürlichen Zahlen?
A: Die Kardinalzahl der Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich.
F: Gibt es mehr reelle Zahlen als natürliche Zahlen?
A: Ja, es gibt mehr reelle Zahlen als natürliche Zahlen.
F: Kann die Kontinuumshypothese mit Hilfe der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie falsifiziert werden?
A: Kurt Gödel hat 1939 gezeigt, dass die Hypothese mit der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie nicht falsifiziert werden kann.
F: Wer hat gezeigt, dass die Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie nicht verwendet werden kann, um die Kontinuumshypothese zu beweisen?
A: Paul Cohen zeigte in den 1960er Jahren, dass die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre nicht zum Beweis der Kontinuumshypothese verwendet werden kann.
