Die Kontinuumshypothese ist eine Hypothese, dass es keine Menge gibt, die sowohl größer als die der natürlichen Zahlen als auch kleiner als die der reellen Zahlen ist. Georg Cantor stellte diese Hypothese 1877 auf.
Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen, die Kardinalität der Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich. Dies gilt auch für die Menge der Reellen Zahlen, aber es gibt mehr Reellen Zahlen als Natürliche Zahlen. Wir sagen, dass die Natürlichen Zahlen eine unendliche Kardinalität und die Reellen Zahlen eine unendliche Kardinalität haben, aber die Kardinalität der Reellen Zahlen ist größer als die Kardinalität der Natürlichen Zahlen.
Diese Hypothese ist das erste Problem auf der Liste der 23 Probleme, die David Hilbert 1900 veröffentlichte. Kurt Gödel zeigte 1939, dass die Hypothese mit Hilfe der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre nicht verfälscht werden kann. Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ist die in der Mathematik gebräuchliche Mengenlehre. Paul Cohen zeigte in den 1960er Jahren, dass die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre auch nicht zum Beweis der Kontinuumshypothese verwendet werden kann. Dafür wurde Cohen mit der Fields-Medaille ausgezeichnet.