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Hilbertsche Probleme: Die 23 wegweisenden Mathematik-Aufgaben von 1900

Hilbertsche Probleme: Die 23 wegweisenden Mathematik-Aufgaben von 1900 — ihr Einfluss, offene Rätsel, Teillösungen und die Verbindung zu den Millennium-Problemen kompakt erklärt.

Autor: Leandro Alegsa

20-10-2025

Im Jahr 1900 veröffentlichte der Mathematiker David Hilbert eine Liste von 23 ungelösten mathematischen Problemen. Die Liste der Probleme erwies sich als sehr einflussreich. Nach Hilberts Tod wurde ein weiteres Problem in seinen Schriften gefunden; dieses wird heute manchmal als Hilberts 24. bezeichnet. Bei diesem Problem geht es darum, Kriterien zu finden, die zeigen, dass die Lösung eines Problems so einfach wie möglich ist.

Von den 23 Problemen waren drei im Jahr 2012 ungelöst, drei waren zu vage, um gelöst zu werden, und sechs konnten teilweise gelöst werden. Angesichts des Einflusses der Probleme formulierte das Clay Mathematics Institute im Jahr 2000 eine ähnliche Liste, die als "Millennium Prize Problems" bezeichnet wurde.

Hintergrund und Bedeutung

Hilberts Liste stellte er in seiner berühmten Rede beim Internationalen Mathematikerkongress in Paris 1900 vor. Sein Ziel war nicht nur, konkrete Aufgaben zu benennen, sondern wissenschaftliche Richtungen zu eröffnen und die Mathematik des 20. Jahrhunderts zu prägen. Viele der Probleme führten zu neuen Methoden, Theorien und Teilgebieten der Mathematik; andere zeigten Grenzen der damals vorhandenen formalen Methoden auf.

Ausgewählte Probleme und ihr heutiger Status (kurze Übersicht)

Die folgenden Beispiele zeigen die Bandbreite von Hilberts Problemen und wie unterschiedlich sie beantwortet wurden:

1. Kontinuumshypothese: Frage nach der Existenz einer Mengenkarte zwischen den natürlichen und reellen Zahlen. Ergebnis: Unentscheidbar im Rahmen der üblichen Zermelo–Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom (ZFC) — resultierend aus Arbeiten von Kurt Gödel (Relative Konsistenz, 1940) und Paul Cohen (Unabhängigkeit, 1963).
2. Konsistenz der Arithmetik: Hilbert wünschte einen sicheren Beweis der Widerspruchsfreiheit der Arithmetik. Ergebnis: Gödels Unvollständigkeitssätze (1931) zeigten grundlegende Grenzen solcher Beweise; später gab es relative Konsistenzbeweise (z. B. Gentzen für Peano-Arithmetik unter Verwendung transfiniter Methoden), sodass das Problem nur teilweise beantwortet ist.
3. Zerlegung von Polyedern: Dehn löste dieses Problem noch 1900: Es existieren Polyeder gleichen Volumens, die nicht durch Abschneiden und Zusammensetzen (Scherenschnitte) ineinander überführt werden können.
5. Lie-Gruppen ohne Differenzierbarkeit: Die Frage nach der Struktur lokalkompakter topologischer Gruppen, die eine Lie-Gruppen-Struktur erzwingen. Ergebnis: Grundlegende Lösungen im 20. Jahrhundert (u. a. Arbeiten von Gleason, Montgomery und Zippin).
7. Transzendenzprobleme (z. B. a^b für algebraische a, irrationales algebraisches b): Teilweise gelöst durch den Gelfond–Schneider-Satz (1934) und spätere Erweiterungen.
8. Primzahlverteilung, Riemannsche Vermutung, Goldbach: Dieses Problemspaket enthält einige der bis heute berühmtesten offenen Fragen; die Riemannsche Vermutung bleibt ungelöst und ist eines der wichtigsten offenen Probleme in der Zahlentheorie.
10. Algorithmische Lösung diophantischer Gleichungen: Matiyasevich (in Fortführung von Davis, Putnam und Robinson) zeigte 1970, dass es keinen allgemeinen Algorithmus zur Lösung aller diophantischen Gleichungen gibt — das Problem ist demnach unentscheidbar.
16. Topologie reeller algebraischer Kurven und Flächen (zweiter Teil): Viele Teilfragen wurden bearbeitet, doch wesentliche Teile dieser Aufgabe bleiben komplex und sind weiterhin Gegenstand aktueller Forschung.

Hilberts 24. Problem

In später entdeckten Notizen Hilberts fand man Hinweise auf ein weiteres, nie offiziell veröffentlichtes Anliegen, das heute oft als das 24. Problem bezeichnet wird. Es betrifft Fragen der Beweisvereinfachung und der Normalform von Beweisen: Hilbert suchte Kriterien, mit denen man zeigen kann, dass ein Beweis "so einfach wie möglich" ist, sowie Methoden zur systematischen Vereinfachung von Beweisen. Diese Idee hat Verbindungen zur heutigen Beweistheorie, Komplexitätstheorie und automatisierten Theorembeweisern.

Wirkung auf die Mathematik und die Moderne

Hilberts Liste wirkte wie ein Forschungsfahrplan für das 20. Jahrhundert. Sie:

lenkte Ressourcen und Aufmerksamkeit auf konkrete, tiefgreifende Fragen,
schuf Verbindungen zwischen anfangs weit entfernten Gebieten,
führte zur Entwicklung neuer Techniken (z. B. in Logik, Algebra, Topologie, Zahlentheorie) und
zeigte zugleich Grenzen formaler Systeme auf (Gödel).

Nachwirkung: Millennium-Preise

Als direkte Auswirkung der Symbolkraft von Hilberts Liste rief das Clay Mathematics Institute im Jahr 2000 die sogenannten "Millennium Prize Problems" ins Leben: sieben mathematische Probleme, für deren vollständige Lösung jeweils ein Preisgeld ausgesetzt wurde. Einige dieser Probleme überlappen in Inhalt und Geist mit Hilberts Forderungen nach klar formulierten, tiefen Fragen in der Mathematik.

Fazit

Die 23 Hilbertschen Probleme haben die mathematische Forschung nachhaltig geprägt. Einige Fragen wurden vollständig gelöst, andere erwiesen sich als unentscheidbar innerhalb der damals üblichen Axiomensysteme, wieder andere blieben offen und treiben die Forschung weiter an. Unabhängig vom Status einzelner Probleme bleibt Hilberts Forderung nach klaren, ambitionierten Fragestellungen ein Modell für wissenschaftliche Zielsetzung.

Zusammenfassung

Die Formulierung bestimmter Probleme ist besser als die von anderen. Von den sauber formulierten Hilbert-Problemen haben die Probleme 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20 und 21 eine Lösung, die im Konsens angenommen wird. Auf der anderen Seite haben die Probleme 1, 2, 5, 9, 15, 18+ und 22 Lösungen, die teilweise akzeptiert werden, aber es gibt einige Kontroversen darüber, ob das Problem dadurch gelöst wird.

Die Lösung für das Problem 18, die Kepler-Vermutung, verwendet einen computergestützten Beweis. Dies ist umstritten, da ein menschlicher Leser nicht in der Lage ist, den Beweis in angemessener Zeit zu überprüfen.

Damit bleiben 16, 8 (die Riemann-Hypothese) und 12 ungelöst. Bei dieser Klassifizierung sind 4, 16 und 23 zu vage, um jemals als gelöst bezeichnet werden zu können. Die zurückgezogenen 24 würden ebenfalls zu dieser Klasse gehören. 6 wird eher als Problem in der Physik als in der Mathematik betrachtet.

Tabelle der Probleme

Hilberts dreiundzwanzig Probleme sind:

Problem	Kurze Erklärung	Stand	Jahr Gelöst
1.	Die Kontinuumshypothese (d.h. es gibt keine Menge, deren Kardinalität streng zwischen der der ganzen Zahlen und der der reellen Zahlen liegt)	Es hat sich gezeigt, dass es unmöglich ist, innerhalb der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit oder ohne das Axiom der Wahl zu beweisen oder zu widerlegen (vorausgesetzt, die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit oder ohne das Axiom der Wahl ist konsistent, d.h. sie enthält keine zwei Theoreme, so dass das eine eine Negation des anderen ist). Es besteht kein Konsens darüber, ob dies eine Lösung des Problems darstellt.	1963
2.	Beweisen Sie, dass die Axiome der Arithmetik konsistent sind.	Es gibt keinen Konsens darüber, ob die Ergebnisse von Gödel und Gentzen eine Lösung für das von Hilbert genannte Problem darstellen. Gödels zweiter Unvollständigkeitssatz, der 1931 bewiesen wurde, zeigt, dass innerhalb der Arithmetik selbst kein Beweis für seine Konsistenz erbracht werden kann. Gentzens Konsistenzbeweis (1936) zeigt, dass die Konsistenz der Arithmetik aus der Begründetheit der Ordinalzahl _ε0 folgt.	1936?
3.	Ist es bei zwei beliebigen Polyedern mit gleichem Volumen immer möglich, das erste in endlich viele polyedrische Stücke zu schneiden, die wieder zusammengesetzt werden können, um das zweite zu erhalten?	Beschlossen. Ergebnis: nein, nachgewiesen mit Dehn-Invarianten.	1900
4.	Konstruieren Sie alle Metriken, bei denen Linien geodätisch sind.	Zu vage, um als gelöst oder nicht gelöst bezeichnet werden zu können.	–
5.	Sind kontinuierliche Gruppen automatisch differentielle Gruppen?	Beschlossen von Andrew Gleason oder Hidehiko Yamabe, je nachdem, wie die ursprüngliche Aussage interpretiert wird. Wenn sie jedoch als ein Äquivalent der Hilbert-Smith-Vermutung verstanden wird, ist sie immer noch ungelöst.	1953?
6.	Axiomatisierung der gesamten Physik	Teilweise gelöst.	–
7.	Ist a ^b transzendental, für algebraisch a ≠ 0,1 und irrational algebraisch b ?	Beschlossen. Ergebnis: ja, veranschaulicht durch das Gelfond-Theorem oder das Gelfond-Schneider-Theorem.	1934
8.	Die Riemannsche Hypothese ("der Realteil jeder nicht-trivialen Null der Riemannschen Zeta-Funktion ist ½") und andere Primzahlprobleme, darunter Goldbachs Vermutung und die Zwillingsprimzahlvermutung	Ungelöst.	–
9.	Finden Sie das allgemeinste Gesetz des Reziprozitätssatzes in einem beliebigen algebraischen Zahlenfeld	Teilweise gelöst.	–
10.	Finden Sie einen Algorithmus, um zu bestimmen, ob eine gegebene polynomische Diophantin-Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten eine ganzzahlige Lösung hat.	Beschlossen. Ergebnis: unmöglich, das Matiyasevitsch-Theorem impliziert, dass es einen solchen Algorithmus nicht gibt.	1970
11.	Lösen quadratischer Formen mit algebraischen numerischen Koeffizienten.	Teilweise gelöst. ^[]	–
12.	Erweitern Sie den Kronecker-Weber-Satz über abelsche Erweiterungen der rationalen Zahlen auf ein beliebiges Basiszahlenfeld.	Teilweise durch die Klassenkörpertheorie gelöst, obwohl die Lösung nicht so explizit ist wie das Kronecker-Weber-Theorem.	–
13.	Lösen von Gleichungen 7. Grades unter Verwendung kontinuierlicher Funktionen von zwei Parametern.	Ungelöst. Das Problem wurde teilweise von Vladimir Arnold auf der Grundlage der Arbeit von Andrey Kolmogorov gelöst.	1957
14.	Wird der Ring von Invarianten einer algebraischen Gruppe, die auf einen Polynomring wirkt, immer endlich erzeugt?	Beschlossen. Ergebnis: nein, Gegenbeispiel wurde von Masayoshi Nagata konstruiert.	1959
15.	Rigorose Fundierung von Schuberts Aufzählungsrechnung.	Teilweise gelöst. ^[]	–
16.	Beschreiben Sie die relativen Positionen der Ovale, die aus einer realen algebraischen Kurve und als Grenzzyklen eines polynomischen Vektorfeldes auf der Ebene entstehen.	Ungelöst.	–
17.	Ausdruck einer bestimmten rationalen Funktion als Quotient der Quadratsummen	Beschlossen von Emil Artin und Charles Delzell. Ergebnis: Es wurde eine Obergrenze für die Anzahl der notwendigen Quadratbegriffe festgelegt. Eine Untergrenze zu finden, ist noch ein offenes Problem.	1927
18.	(a) Gibt es einen Polyeder, der nur eine anisoedrische Fliesenverkleidung in drei Dimensionen zulässt? (b) Was ist die dichteste Kugelpackung?	(a) Beschlossen. Ergebnis: ja (von Karl Reinhardt). (b) Beschlossen von Thomas Callister Hales unter Verwendung computergestützter Beweise. Ergebnis: kubisch dichte Packung und sechseckige dichte Packung, die beide eine Dichte von etwa 74% haben.	(a) 1928 (b) 1998
19.	Sind die Lösungen der Lagranger immer analytisch?	Beschlossen. Ergebnis: ja, bewiesen durch Ennio de Giorgi und, unabhängig und mit verschiedenen Methoden, durch John Forbes Nash.	1957
20.	Gibt es für alle Variationsprobleme mit bestimmten Randbedingungen Lösungen?	Beschlossen. Ein bedeutendes Forschungsthema des gesamten 20. Jahrhunderts, das in Lösungen^[] für den nichtlinearen Fall gipfelte.	–
21.	Nachweis der Existenz von linearen Differentialgleichungen mit einer vorgeschriebenen monodromen Gruppe	Beschlossen. Ergebnis: Ja oder nein, je nach genauerer Formulierung des Problems. ^[]	–
22.	Vereinheitlichung der analytischen Beziehungen mittels automorpher Funktionen	Beschlossen. ^[]	–
23.	Weiterentwicklung der Variationsrechnung	Ungelöst.	–

Fragen und Antworten

F: Wer veröffentlichte im Jahr 1900 eine Liste von 23 ungelösten mathematischen Problemen?

A: David Hilbert veröffentlichte im Jahr 1900 eine Liste von 23 ungelösten mathematischen Problemen.

F: War das 24. Problem von Hilbert Teil der ursprünglichen Liste?

A: Nein, Hilberts 24. Problem wurde in Hilberts Schriften nach seinem Tod gefunden.

F: Worum geht es in Hilberts 24. Problem?

A: Bei Hilberts 24. Problem geht es darum, Kriterien zu finden, die zeigen, dass eine Lösung für ein Problem die einfachste ist.

F: Wurden alle 23 Probleme auf Hilberts Liste bis 2012 gelöst?

A: Nein, drei der 23 Probleme auf Hilberts Liste waren im Jahr 2012 noch ungelöst.

F: Waren einige der Probleme auf Hilberts Liste zu vage, um gelöst zu werden?

A: Ja, drei der Probleme auf Hilberts Liste waren zu vage, um gelöst zu werden.

F: Wie viele der Probleme auf Hilberts Liste konnten teilweise gelöst werden?

A: Sechs der Probleme auf Hilberts Liste konnten teilweise gelöst werden.

F: Hat das Clay Mathematics Institute eine ähnliche Liste wie Hilberts Probleme erstellt?

A: Ja, das Clay Mathematics Institute hat im Jahr 2000 eine ähnliche Liste mit der Bezeichnung Millennium Prize Problems erstellt.