Hilbertsche Probleme
Im Jahr 1900 veröffentlichte der Mathematiker David Hilbert eine Liste von 23 ungelösten mathematischen Problemen. Die Liste der Probleme erwies sich als sehr einflussreich. Nach Hilberts Tod wurde ein weiteres Problem in seinen Schriften gefunden; dieses wird heute manchmal als Hilberts 24. Bei diesem Problem geht es darum, Kriterien zu finden, die zeigen, dass die Lösung eines Problems so einfach wie möglich ist.
Von den 23 Problemen waren drei im Jahr 2012 ungelöst, drei waren zu vage, um gelöst zu werden, und sechs konnten teilweise gelöst werden. Angesichts des Einflusses der Probleme formulierte das Clay Mathematics Institute im Jahr 2000 eine ähnliche Liste, die als "Millennium Prize Problems" bezeichnet wurde.
Zusammenfassung
Die Formulierung bestimmter Probleme ist besser als die von anderen. Von den sauber formulierten Hilbert-Problemen haben die Probleme 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20 und 21 eine Lösung, die im Konsens angenommen wird. Auf der anderen Seite haben die Probleme 1, 2, 5, 9, 15, 18+ und 22 Lösungen, die teilweise akzeptiert werden, aber es gibt einige Kontroversen darüber, ob das Problem dadurch gelöst wird.
Die Lösung für das Problem 18, die Kepler-Vermutung, verwendet einen computergestützten Beweis. Dies ist umstritten, da ein menschlicher Leser nicht in der Lage ist, den Beweis in angemessener Zeit zu überprüfen.
Damit bleiben 16, 8 (die Riemann-Hypothese) und 12 ungelöst. Bei dieser Klassifizierung sind 4, 16 und 23 zu vage, um jemals als gelöst bezeichnet werden zu können. Die zurückgezogenen 24 würden ebenfalls zu dieser Klasse gehören. 6 wird eher als Problem in der Physik als in der Mathematik betrachtet.
Tabelle der Probleme
Hilberts dreiundzwanzig Probleme sind:
| Problem | Kurze Erklärung | Stand | Jahr Gelöst |
| 1. | Die Kontinuumshypothese (d.h. es gibt keine Menge, deren Kardinalität streng zwischen der der ganzen Zahlen und der der reellen Zahlen liegt) | Es hat sich gezeigt, dass es unmöglich ist, innerhalb der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit oder ohne das Axiom der Wahl zu beweisen oder zu widerlegen (vorausgesetzt, die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit oder ohne das Axiom der Wahl ist konsistent, d.h. sie enthält keine zwei Theoreme, so dass das eine eine Negation des anderen ist). Es besteht kein Konsens darüber, ob dies eine Lösung des Problems darstellt. | 1963 |
| 2. | Beweisen Sie, dass die Axiome der Arithmetik konsistent sind. | Es gibt keinen Konsens darüber, ob die Ergebnisse von Gödel und Gentzen eine Lösung für das von Hilbert genannte Problem darstellen. Gödels zweiter Unvollständigkeitssatz, der 1931 bewiesen wurde, zeigt, dass innerhalb der Arithmetik selbst kein Beweis für seine Konsistenz erbracht werden kann. Gentzens Konsistenzbeweis (1936) zeigt, dass die Konsistenz der Arithmetik aus der Begründetheit der Ordinalzahl ε0 folgt. | 1936? |
| 3. | Ist es bei zwei beliebigen Polyedern mit gleichem Volumen immer möglich, das erste in endlich viele polyedrische Stücke zu schneiden, die wieder zusammengesetzt werden können, um das zweite zu erhalten? | Beschlossen. Ergebnis: nein, nachgewiesen mit Dehn-Invarianten. | 1900 |
| 4. | Konstruieren Sie alle Metriken, bei denen Linien geodätisch sind. | Zu vage, um als gelöst oder nicht gelöst bezeichnet werden zu können. | – |
| 5. | Sind kontinuierliche Gruppen automatisch differentielle Gruppen? | Beschlossen von Andrew Gleason oder Hidehiko Yamabe, je nachdem, wie die ursprüngliche Aussage interpretiert wird. Wenn sie jedoch als ein Äquivalent der Hilbert-Smith-Vermutung verstanden wird, ist sie immer noch ungelöst. | 1953? |
| 6. | Axiomatisierung der gesamten Physik | Teilweise gelöst. | – |
| 7. | Ist a b transzendental, für algebraisch a ≠ 0,1 und irrational algebraisch b ? | Beschlossen. Ergebnis: ja, veranschaulicht durch das Gelfond-Theorem oder das Gelfond-Schneider-Theorem. | 1934 |
| 8. | Die Riemannsche Hypothese ("der Realteil jeder nicht-trivialen Null der Riemannschen Zeta-Funktion ist ½") und andere Primzahlprobleme, darunter Goldbachs Vermutung und die Zwillingsprimzahlvermutung | Ungelöst. | – |
| 9. | Finden Sie das allgemeinste Gesetz des Reziprozitätssatzes in einem beliebigen algebraischen Zahlenfeld | Teilweise gelöst. | – |
| 10. | Finden Sie einen Algorithmus, um zu bestimmen, ob eine gegebene polynomische Diophantin-Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten eine ganzzahlige Lösung hat. | Beschlossen. Ergebnis: unmöglich, das Matiyasevitsch-Theorem impliziert, dass es einen solchen Algorithmus nicht gibt. | 1970 |
| 11. | Lösen quadratischer Formen mit algebraischen numerischen Koeffizienten. | Teilweise gelöst. [] | – |
| 12. | Erweitern Sie den Kronecker-Weber-Satz über abelsche Erweiterungen der rationalen Zahlen auf ein beliebiges Basiszahlenfeld. | Teilweise durch die Klassenkörpertheorie gelöst, obwohl die Lösung nicht so explizit ist wie das Kronecker-Weber-Theorem. | – |
| 13. | Lösen von Gleichungen 7. Grades unter Verwendung kontinuierlicher Funktionen von zwei Parametern. | Ungelöst. Das Problem wurde teilweise von Vladimir Arnold auf der Grundlage der Arbeit von Andrey Kolmogorov gelöst. | 1957 |
| 14. | Wird der Ring von Invarianten einer algebraischen Gruppe, die auf einen Polynomring wirkt, immer endlich erzeugt? | Beschlossen. Ergebnis: nein, Gegenbeispiel wurde von Masayoshi Nagata konstruiert. | 1959 |
| 15. | Rigorose Fundierung von Schuberts Aufzählungsrechnung. | Teilweise gelöst. [] | – |
| 16. | Beschreiben Sie die relativen Positionen der Ovale, die aus einer realen algebraischen Kurve und als Grenzzyklen eines polynomischen Vektorfeldes auf der Ebene entstehen. | Ungelöst. | – |
| 17. | Ausdruck einer bestimmten rationalen Funktion als Quotient der Quadratsummen | Beschlossen von Emil Artin und Charles Delzell. Ergebnis: Es wurde eine Obergrenze für die Anzahl der notwendigen Quadratbegriffe festgelegt. Eine Untergrenze zu finden, ist noch ein offenes Problem. | 1927 |
| 18. | (a) Gibt es einen Polyeder, der nur eine anisoedrische Fliesenverkleidung in drei Dimensionen zulässt? | (a) Beschlossen. Ergebnis: ja (von Karl Reinhardt). | (a) 1928 |
| 19. | Sind die Lösungen der Lagranger immer analytisch? | Beschlossen. Ergebnis: ja, bewiesen durch Ennio de Giorgi und, unabhängig und mit verschiedenen Methoden, durch John Forbes Nash. | 1957 |
| 20. | Gibt es für alle Variationsprobleme mit bestimmten Randbedingungen Lösungen? | Beschlossen. Ein bedeutendes Forschungsthema des gesamten 20. Jahrhunderts, das in Lösungen[] für den nichtlinearen Fall gipfelte. | – |
| 21. | Nachweis der Existenz von linearen Differentialgleichungen mit einer vorgeschriebenen monodromen Gruppe | Beschlossen. Ergebnis: Ja oder nein, je nach genauerer Formulierung des Problems. [] | – |
| 22. | Vereinheitlichung der analytischen Beziehungen mittels automorpher Funktionen | Beschlossen. [] | – |
| 23. | Weiterentwicklung der Variationsrechnung | Ungelöst. | – |
Fragen und Antworten
F: Wer veröffentlichte im Jahr 1900 eine Liste von 23 ungelösten mathematischen Problemen?
A: David Hilbert veröffentlichte im Jahr 1900 eine Liste von 23 ungelösten mathematischen Problemen.
F: War das 24. Problem von Hilbert Teil der ursprünglichen Liste?
A: Nein, Hilberts 24. Problem wurde in Hilberts Schriften nach seinem Tod gefunden.
F: Worum geht es in Hilberts 24. Problem?
A: Bei Hilberts 24. Problem geht es darum, Kriterien zu finden, die zeigen, dass eine Lösung für ein Problem die einfachste ist.
F: Wurden alle 23 Probleme auf Hilberts Liste bis 2012 gelöst?
A: Nein, drei der 23 Probleme auf Hilberts Liste waren im Jahr 2012 noch ungelöst.
F: Waren einige der Probleme auf Hilberts Liste zu vage, um gelöst zu werden?
A: Ja, drei der Probleme auf Hilberts Liste waren zu vage, um gelöst zu werden.
F: Wie viele der Probleme auf Hilberts Liste konnten teilweise gelöst werden?
A: Sechs der Probleme auf Hilberts Liste konnten teilweise gelöst werden.
F: Hat das Clay Mathematics Institute eine ähnliche Liste wie Hilberts Probleme erstellt?
A: Ja, das Clay Mathematics Institute hat im Jahr 2000 eine ähnliche Liste mit der Bezeichnung Millennium Prize Problems erstellt.
