Zylinder (Geometrie)

Im allgemeinen Sprachgebrauch versteht man unter einem Zylinder einen endlichen Querschnitt eines rechten Kreiszylinders, d.h. den Zylinder mit den Erzeugenden senkrecht zu den Grundflächen, dessen Enden geschlossen sind, um zwei Kreisflächen zu bilden, wie in der Abbildung (rechts). Wenn der Zylinder einen Radius r und eine Länge (Höhe) h hat, dann ist sein Volumen gegeben durch:

V = πr2h

und seine Oberfläche ist:

• den Bereich der Spitze ⁽πr2) +
• den Bereich des Bodens ⁽πr2) +
• den Bereich der Seite (2πrh).

Daher ist ohne die Ober- oder Unterseite (Seitenfläche) die Fläche:

A = 2πrh.

Mit der Ober- und Unterseite ist die Fläche:

A = ^2πr2 + 2πrh = 2πr(r + h).

Für ein gegebenes Volumen hat der Zylinder mit der kleinsten Oberfläche h = 2r. Für eine gegebene Oberfläche hat der Zylinder mit dem größten Volumen h = 2r, d.h. der Zylinder passt in einen Würfel (Höhe = Durchmesser).

Mit einem rechten Kreiszylinder mit einer Höhe h Einheiten und einer Basis von Radius r Einheiten, wobei die Koordinatenachsen so gewählt sind, dass der Ursprung in der Mitte einer Basis liegt und die Höhe entlang der positiven x-Achse gemessen wird. Ein ebener Schnitt in einem Abstand von x Einheiten vom Ursprung hat eine Fläche von A(x)-Quadrateinheiten, wobei

A ( x ) = π r 2 {\Anzeigestil A(x)=\pi r^{2}}

oder

A ( y ) = π r 2 {\Anzeigestil A(y)=\pi r^{2}}

Ein Volumenelement, ist ein rechter Zylinder mit einer Grundfläche von quadratischen Awi-Einheiten und einer Dicke von Δix Einheiten. Wenn also V kubische Einheiten das Volumen des rechten Kreiszylinders ist, durch Riemannsche Summen,

V o l u m e o f c y l i n d e r = lim | | | Δ → 0 | | ∑ i = 1 n A ( w i ) Δ i x {\darstellungsstil \mathrm {Volumen\;von\;Zylinder} =\lim _{||\Delta \bis 0||}\summe _{i=1}^{n}A(w_{i})\Delta _{i}x}

= ∫ 0 h A ( y ) 2 d y {\displaystyle =\int _{0}^{h}A(y)^{2}\,dy}

= ∫ 0 h π r 2 d y {\displaystyle =\int _{0}^{h}\pi r^{2}\,dy}

= π r 2 h {\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

Unter Verwendung von Zylinderkoordinaten kann das Volumen durch Integration berechnet werden über

= ∫ 0 h ∫ 0 2 π ∫ 0 r s d s d ϕ d z {\displaystyle =\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz}

= π r 2 h {\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

Zylindrische Schnitte sind die Schnittpunkte von Zylindern mit Ebenen. Für einen rechten Kreiszylinder gibt es vier Möglichkeiten. Eine Ebene, die den Zylinder tangiert, trifft den Zylinder in einer einzigen geraden Linie. Wenn die Ebene parallel zu sich selbst bewegt wird, schneidet sie den Zylinder entweder nicht oder in zwei parallelen Linien. Alle anderen Ebenen schneiden den Zylinder in einer Ellipse oder, wenn sie senkrecht zur Achse des Zylinders stehen, in einem Kreis.

Ein elliptischer Zylinder, oder Zylindroid, ist eine quadratische Fläche mit der folgenden Gleichung in kartesischen Koordinaten:

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = 1. {\darstellungsstil \links({\frac {x}{a}}}\rechts)^{2}+\links({\frac {y}{b}}\rechts)^{2}=1.}

Diese Gleichung gilt für einen elliptischen Zylinder, eine Verallgemeinerung des gewöhnlichen, kreisförmigen Zylinders (a = b). Noch allgemeiner ist der verallgemeinerte Zylinder: der Querschnitt kann eine beliebige Kurve sein.

Der Zylinder ist eine degenerierte Quadrik, weil mindestens eine der Koordinaten (in diesem Fall z) nicht in der Gleichung erscheint.

Bei einem schrägen Zylinder sind die obere und untere Fläche gegeneinander versetzt.

Es gibt andere, ungewöhnlichere Arten von Zylindern. Dies sind die imaginären elliptischen Zylinder:

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = - 1 {\Anzeigestil \links({\frac {x}{a}}\rechts)^{2}+\links({\frac {y}{b}}\rechts)^{2}=-1}

der hyperbolische Zylinder:

( x a ) 2 - ( y b ) 2 = 1 {\Anzeigestil \links({\frac {x}{a}}\rechts)^{2}-\links({\frac {y}{b}}\rechts)^{2}=1}

und den parabolischen Zylinder:

x 2 + 2 a y = 0. {\Anzeigestil x^{2}+2ay=0.\,}

In der projektiven Geometrie ist ein Zylinder einfach ein Kegel, dessen Scheitelpunkt unendlich ist.

Dies ist nützlich bei der Definition von degenerierten Koniken, die eine Berücksichtigung der zylindrischen Koniken erfordern.