Idempotenz

Autor: Leandro Alegsa

03-11-2020

Idempotenz ist eine Eigenschaft, die eine Operation in Mathematik oder Informatik haben kann. Sie bedeutet grob gesagt, dass die Operation immer wieder ausgeführt werden kann, ohne das Ergebnis zu verändern.

Das Wort Idempotenz wurde von Benjamin Pierce gemacht, weil er das Konzept beim Studium der Algebra gesehen hat.

Die Bedeutung ist anders, wenn wir über verschiedene Arten von Operationen sprechen. Sie kann auch verwendet werden, um Elemente zu beschreiben, die eine Operation nicht aufnehmen kann:

Für eine einheitliche Operation (oder Funktion), die wir mit f bezeichnen, sagen wir, dass f idempotent ist, wenn für irgendein x in der Domäne von f gilt: f(f(x)) = f(x). Zum Beispiel der absolute Wert: abs(abs(x)) = abs(x).

Wir sagen, dass ein Element c in der Domäne von f ein idempotentes Element ist, wenn f(f(c)) = f(c). Das bedeutet, dass f idempotent ist, wenn jedes Element seiner Domäne ein idempotentes Element ist.

Für eine binäre Operation, die wir mit * bezeichnen, sagen wir, dass * idempotent ist, wenn für jedes x, das die binäre Operation annehmen kann, Folgendes gilt: x * x = x.

Wir sagen, dass ein Element c, das * nehmen kann, ein idempotentes Element für * ist, wenn c * c = c. Zum Beispiel ist die Zahl 1 ein idempotentes Element für die Multiplikation, weil 1 mal 1 1 ist.

Beispiele aus der realen Welt

Wenn ein Rufknopf in einem Aufzug gedrückt wird, fährt der Aufzug in das Stockwerk, das sich auf dem Knopf befindet. Wenn er erneut gedrückt wird, wird er dasselbe tun. Das bedeutet, dass der Vorgang, bei dem ein Knopf gedrückt wird, damit der Aufzug das Stockwerk wechselt, ein idempotenter Vorgang ist.

Wenn wir zwei Töpfe, die die gleiche Flüssigkeit enthalten, in einen neuen Topf mischen, dann haben wir die gleiche Flüssigkeit in diesem Topf. Wenn wir uns nur darum kümmern, welche Art von Flüssigkeit in dem Topf ist (nicht wie viel), dann ist das Mischen von Flüssigkeiten eine idempotente binäre Operation.

Das Zifferblatt einer Uhr sieht gleich aus, wenn 12 Stunden vergangen sind. Für die Operation "Zeit auf einer Uhr verstreichen lassen" sehen wir also, dass das Verstreichenlassen von 12 Stunden ein idempotentes Element ist (dies gilt auch für alle Vielfachen von 12 wie 24, 36, 48, ...).

Fragen und Antworten

F: Was ist Idempotenz?

A: Idempotenz ist eine Eigenschaft, die eine Operation in der Mathematik oder der Informatik haben kann. Das bedeutet, dass die Operation immer wieder ausgeführt werden kann, ohne dass sich das Ergebnis ändert.

F: Wer hat den Begriff "Idempotenz" geprägt?

A: Der Begriff "Idempotenz" wurde von Benjamin Pierce geprägt.

F: Wie unterscheidet sich Idempotenz bei verschiedenen Arten von Operationen?

A: Die Bedeutung von Idempotenz hängt von der Art der Operation ab, um die es geht.

F: Was muss erfüllt sein, damit eine unäre Operation als idempotent gilt?

A: Damit eine unäre Operation (oder Funktion) als idempotent gilt, muss f(f(x)) = f(x) für jedes x in ihrem Bereich wahr sein.

F: Was ist ein Beispiel für ein Element, das eine unäre Operation annehmen kann und dennoch als idempotent gilt?

A: Ein Beispiel für ein Element, das eine unäre Operation annehmen kann und dennoch als idempotent gilt, wäre der Absolutwert; abs(abs(x)) = abs(x).

F: Was muss zutreffen, damit eine binäre Operation als idempotent gilt? A: Damit eine binäre Operation als idempotent gilt, muss x * x = x für jedes x gelten, das die binäre Operation annehmen kann.

F: Können Sie ein Beispiel für ein Element nennen, das dieses Kriterium erfüllt? A: Ein Beispiel für ein Element, das dieses Kriterium erfüllt, wäre die Zahl 1; 1 mal 1 ist 1.