Wellenfunktion (Quantenmechanik): Definition, Wahrscheinlichkeit, Schrödinger

Wellenfunktion (Quantenmechanik): Definition, Wahrscheinlichkeitsdichte und Schrödinger-Gleichung kompakt und verständlich erklärt.

Autor: Leandro Alegsa

15-02-2026 20:34

In der Quantenmechanik beschreibt die Wellenfunktion, die gewöhnlich durch Ψ oder ψ dargestellt wird, die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron irgendwo in seiner Materiewelle zu finden. Um genauer zu sein, gibt das Quadrat der Wellenfunktion die Wahrscheinlichkeit an, den Ort des Elektrons in dem gegebenen Bereich zu finden, da die normale Antwort für die Wellenfunktion normalerweise eine komplexe Zahl ist. Das Konzept der Wellenfunktion wurde erstmals in der legendären Schrödinger-Gleichung eingeführt.

Wahrscheinlichkeitsdeutung

Nach der Bornschen Deutung ist die physikalisch messbare Größe die Wahrscheinlichkeitsdichte |Ψ(x,t)|². Das bedeutet konkret: die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen zum Zeitpunkt t im Raumgebiet V zu finden, ist das Integral

∫_V |Ψ(x,t)|² dx.

Die gesamte Wahrscheinlichkeit, das Teilchen irgendwo im Raum zu finden, muss 1 sein. Deshalb wird die Wellenfunktion üblicherweise so normiert, dass

∫ |Ψ(x,t)|² dx = 1.

Die Wellenfunktion selbst ist keine direkt beobachtbare Größe — nur aus ihr lassen sich Vorhersagen über Messresultate machen, z. B. Erwartungswerte von Ort, Impuls oder Energie.

Mathematische Eigenschaften

Komplexwertigkeit: Ψ(x,t) ist im Allgemeinen komplexwertig. Die Wahrscheinlichkeitsdichte ergibt sich aus Ψ*Ψ (Produkt mit der komplexen Konjugierten).
Linearität und Superposition: Sind Ψ1 und Ψ2 zwei Lösungen der (linearen) Schrödinger-Gleichung, so ist auch jede Linearkombination a·Ψ1 + b·Ψ2 eine Lösung. Dies führt zum Prinzip der Superposition und zu Interferenzphänomenen.
Kontinuität: Die Wellenfunktion und oft auch ihre Ableitungen sind im physikalisch relevanten Bereich stetig. Aus der Schrödinger-Gleichung ergibt sich eine Kontinuitätsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte, die einen Wahrscheinlichkeitsstrom beschreibt.
Mehrteilchensysteme: Für mehrere Teilchen hängt Ψ von mehreren Ortskoordinaten ab, z. B. Ψ(x1, x2, ..., t). Für identische Teilchen gelten zusätzliche Symmetriebedingungen (symmetrisch für Bosonen, antisymmetrisch für Fermionen).

Zeitabhängigkeit und Schrödinger-Gleichung

Die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion wird durch die Schrödinger-Gleichung bestimmt. In der nichtrelativistischen Quantenmechanik unterscheidet man:

Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung: beschreibt die vollständige Dynamik Ψ(x,t) und damit, wie sich Wahrscheinlichkeiten mit der Zeit ändern.
Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung: wird verwendet, um stationäre Zustände (Eigenzustände) mit wohl definierten Energien zu finden; diese Zustände haben eine zeitliche Phasenfaktor-Abhängigkeit, die die Wahrscheinlichkeitsdichte unverändert lässt.

Operatoren, Messung und Erwartungswerte

Physikalische Observablen (z. B. Ort, Impuls, Energie) werden in der Quantenmechanik durch Operatoren dargestellt. Bei einer Messung eines Observablen kann die Wellenfunktion in einen Eigenzustand des entsprechenden Operators zusammenbrechen; das gemessene Ergebnis ist dann einer der Eigenwerte. Erwartungswerte berechnet man als ⟨A⟩ = ∫ Ψ* (Â Ψ) dx, wobei Â der zugehörige Operator ist.

Räumliche Darstellung und Impulsraum

Die übliche Darstellung der Wellenfunktion ist im Ortsraum Ψ(x,t). Man kann aber durch Fouriertransformation in den Impulsraum wechseln und erhält so die Impulswellenfunktion Φ(p,t), aus der sich Wahrscheinlichkeitsverteilungen für den Impuls gewinnen lassen. Orts- und Impulsdarstellung sind miteinander verbunden und spiegeln das Unschärfeprinzip wider: je stärker Ψ in x lokalisiert ist, desto breiter ist Φ in p.

Beispiele und Anschauung

Teilchen im Kasten: Für ein Teilchen in einem eindimensionalen Kasten ergeben sich diskrete stationäre Zustände mit bestimmten Energieeigenwerten; die Wahrscheinlichkeitsdichten haben knotenfreie oder mehrknotige Strukturen abhängig vom Quantenzustand.
Wasserstoffatom: Die Wellenfunktionen der Elektronen (Orbitale) des Wasserstoffatoms liefern durch |Ψ|² die räumliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, aus der man die bekannten Kugel- und Keulenformen der Orbitale erhält.

Wichtige Hinweise und Grenzen

Die konventionelle Wellenfunktion gehört zur nichtrelativistischen Quantenmechanik. In der relativistischen Theorie (z. B. Dirac-Gleichung) und in der Quantenfeldtheorie wird das Konzept erweitert oder ersetzt durch Feldoperatoren. Außerdem ist die Wahrscheinlichkeitsdeutung und der Messprozess philosophisch und interpretativ viel diskutiert (Kollaps, Dekohärenz, verschiedene Interpretationen der Quantenmechanik).

Zusammenfassend ist die Wellenfunktion das zentrale mathematische Objekt der Quantenmechanik: sie enthält alle zugänglichen Informationen über ein System in probabilistischer Form und bestimmt durch die Schrödinger-Gleichung seine zeitliche Entwicklung.

Mathematische Interpretation

Die Formel zur Ermittlung der Wellenfunktion (d.h. der Wahrscheinlichkeitswelle) ist unten aufgeführt:

i ℏ ∂ ∂ t Ψ ( x , t ) = H ^ Ψ ( x , t ) {\displaystyle i\bar {\frac {\teilweise }{\teilweise t}}\Psi (\mathbf {x} ,\,t)={\hat {H}}\\Psi (\mathbf {x} ,\,t)} $i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {x} ,\,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {x} ,\,t)$

wobei i die imaginäre Zahl ist, ψ (x,t) ist die Wellenfunktion, ħ ist die reduzierte Planck-Konstante, t ist die Zeit, x ist die Position im Raum, Ĥ ist ein mathematisches Objekt, das als Hamilton-Operator bekannt ist. Der Leser wird feststellen, dass das Symbol ∂ ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}} ${\frac {\partial }{\partial t}}$ bedeutet, dass die partielle Ableitung der Wellenfunktion genommen wird.