Schrödingergleichung

Unter der Annahme, dass die Wellenfunktion, Ψ ( x , t ) {\Darstellungsstil \Psi (x,t)} ist trennbar, d.h. die Annahme der Funktion zweier Variablen kann als das Produkt zweier verschiedener Funktionen einer einzigen Variablen geschrieben werden:

Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) T ( t ) {\Anzeigestil \Psi (x,t)=\psi (x)T(t)} {\Anzeigestil \Psi (x,t)=\psi (x)T(t)}

dann kann mit Hilfe der mathematischen Standardtechniken der partiellen Differentialgleichungen gezeigt werden, dass die Wellengleichung in zwei verschiedene Differentialgleichungen umgeschrieben werden kann

i ℏ d T ( t ) d t = E T ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}}=E\,T(t)}

- ℏ 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\bar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)}

wobei die erste Gleichung allein von der Zeit T ( t ) abhängt {\darstellungsstil T(t)} , und die zweite Gleichung hängt nur von der Position ab ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} und wobei E {\darstellungsstil E} nur eine Zahl ist. Die erste Gleichung kann sofort gelöst werden und ergibt

T ( t ) = e - i E t ℏ {\displaystyle T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\bar }}}}

wobei e {\Anzeigestil e} die Eulersche Zahl ist. Lösungen der zweiten Gleichung hängen von der Funktion der potentiellen Energie ab, V ( x ) {\darstellungsstil V(x)} und kann daher nicht gelöst werden, solange diese Funktion nicht gegeben ist. Mit Hilfe der Quantenmechanik kann gezeigt werden, dass die Zahl E {\Anzeigeart E} eigentlich die Energie des Systems ist, so dass diese trennbaren Wellenfunktionen Systeme konstanter Energie beschreiben. Da die Energie in vielen wichtigen physikalischen Systemen konstant ist (z.B.: ein Elektron in einem Atom), wird oft die zweite Gleichung des oben vorgestellten Satzes von trennbaren Differentialgleichungen verwendet. Diese Gleichung ist als die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung bekannt, da sie nicht t {\darstellungsstil t} beinhaltet.

Geborene Interpretation

Es gibt viele philosophische Interpretationen der Wellenfunktion, und einige der führenden Ideen sollen hier betrachtet werden. Die Hauptidee, die so genannte Born-Wahrscheinlichkeitsinterpretation (benannt nach dem Physiker Max Born) stammt von der einfachen Idee, dass die Wellenfunktion quadratisch integrierbar ist; d.h.

∫ - ∞ ∞ | Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty }

Diese recht einfache Formel hat große physikalische Auswirkungen. Born stellte die Hypothese auf, dass das obige Integral bestimmt, dass das Teilchen irgendwo im Raum existiert. Aber wie können wir es finden? Wir verwenden das Integral

∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\displaystyle \int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)}

wobei P ( b < x < a ) {\Darstellungsstil P(b<x<a)} die Wahrscheinlichkeit ist, das Teilchen in der Region von b {\Darstellungsstil b} bis a {\Darstellungsstil a} zu finden. Mit anderen Worten, alles, was über ein Teilchen im Allgemeinen im Voraus bekannt sein kann, sind Wahrscheinlichkeiten, Mittelwerte und andere statistische Größen, die mit seinen physikalischen Größen (Position, Impuls usw.) verbunden sind. Im Grunde ist dies die Born-Interpretation.

Kopenhagener Interpretation

Eine Erweiterung der oben genannten Ideen kann vorgenommen werden. Da die Born-Interpretation besagt, dass das tatsächliche Positionsteilchen nicht bekannt sein kann, können wir Folgendes ableiten. Wenn Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... Ψ n {\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}} Lösungen der Wellengleichung sind, dann ist die Überlagerung dieser Lösungen, d.h.

Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + c n Ψ n {\Anzeigestil \Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\Punkte +c_{n}\Psi _{n}}}

ist auch eine Lösung. Das bedeutet also, dass das Teilchen in jeder möglichen Position existiert. Wenn ein Beobachter kommt und die Position des Teilchens misst, dann wird die Überlagerung auf eine einzige mögliche Wellenfunktion reduziert. (d.h., Ψ s {\Darstellungsstil \Psi _{s}} → Ψ n {\Anzeigestil \Psi _{n}} , wobei Ψ n {\Darstellungsstil \Psi _{n}} einer der möglichen Wellenfunktionszustände ist). Aus dieser Vorstellung, dass die Position eines Teilchens nicht genau bekannt sein kann und dass ein Teilchen in mehreren Positionen gleichzeitig existiert, ergibt sich das Unschärfeprinzip. Die mathematische Formulierung dieses Prinzips kann gegeben sein durch

Δ x Δ p > ℏ 2 {\Anzeigestil \Delta x\Delta p>{\frac {\bar }{2}}}

Wobei Δ x {\Anzeigestil \Delta x} die Unsicherheit in der Position und Δ p {\Anzeigestil \Delta p} die Unsicherheit im Momentum ist. Dieses Prinzip lässt sich mathematisch aus den Fourier-Transformationen zwischen Impuls und Position gemäß der Definition der Quantenmechanik ableiten, aber wir werden es in diesem Artikel nicht ableiten.

Andere Interpretationen

Es gibt verschiedene andere Interpretationen, wie z.B. die Vielwelten-Interpretation und den Quantendeterminismus.