Schrödingergleichung

Die Schrödinger-Gleichung ist eine Differentialgleichung (eine Art von Gleichung, die eher eine unbekannte Funktion als eine unbekannte Zahl beinhaltet), die die Grundlage der Quantenmechanik bildet, eine der genauesten Theorien darüber, wie sich subatomare Teilchen verhalten. Es handelt sich um eine mathematische Gleichung, die 1925 von Erwin Schrödinger erdacht wurde. Sie definiert eine Wellenfunktion eines Teilchens oder Systems (Gruppe von Teilchen), die an jedem Punkt im Raum zu jeder gegebenen Zeit einen bestimmten Wert hat. Diese Werte haben keine physikalische Bedeutung (tatsächlich sind sie mathematisch komplex), dennoch enthält die Wellenfunktion alle Informationen, die über ein Teilchen oder System bekannt sein können. Diese Informationen können durch mathematische Manipulation der Wellenfunktion gefunden werden, um reale Werte in Bezug auf physikalische Eigenschaften wie Position, Impuls, Energie usw. zu erhalten. Die Wellenfunktion kann man sich als ein Bild davon vorstellen, wie sich dieses Teilchen oder System mit der Zeit verhält und beschreibt es so vollständig wie möglich.

Die Wellenfunktion kann sich gleichzeitig in mehreren verschiedenen Zuständen befinden, so dass ein Teilchen viele verschiedene Positionen, Energien, Geschwindigkeiten oder andere physikalische Eigenschaften gleichzeitig haben kann (d.h. "an zwei Orten gleichzeitig sein"). Wenn jedoch eine dieser Eigenschaften gemessen wird, hat sie nur einen bestimmten Wert (der nicht definitiv vorhergesagt werden kann), und die Wellenfunktion befindet sich daher nur in einem bestimmten Zustand. Dies wird als Wellenfunktionskollaps bezeichnet und scheint durch den Akt der Beobachtung oder Messung verursacht zu werden. Die genaue Ursache und Interpretation des Wellenfunktionskollapses wird in der wissenschaftlichen Gemeinschaft immer noch breit diskutiert.

Für ein Teilchen, das sich im Raum nur in eine Richtung bewegt, sieht die Schrödinger-Gleichung so aus:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 Ψ ( x , t ) + V ( x ) Ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ∂ ∂ t Ψ ( x , t ) {\displaystyle -{\frac {\bar ^{2}}{2m}}{\frac {\teilweise ^{2}}{\teilweise x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\\Psi (x,t)=i\bar {\frac {\bar }{\teilweise t}}\Psi (x,\,t)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)$

wobei i {\displaystyle i} die Quadratwurzel von -1 ist, $i$ ℏ {\displaystyle \hbar } die reduzierte Planck'sche Konstante $\hbar$ ist, t {\displaystyle t} die Zeit ist, $t$ x {\displaystyle x} eine Position ist, Ψ ( x , t ) {\Darstellungsstil \Psi (x,\,t)} $\Psi (x,\,t)$ ist die Wellenfunktion, und V ( x ) {\Darstellungsstil V(x)} $V(x)$ ist die potentielle Energie, eine noch nicht gewählte Funktion der Position. Die linke Seite entspricht dem Hamilton'schen Energieoperator, der auf Ψ {\Darstellungsstil \Psi } agiert. $\Psi$ .

Büste von Erwin Schrödinger, an der Universität Wien. Sie zeigt auch eine Schrödinger-Gleichung.

Zeitunabhängige Version

Unter der Annahme, dass die Wellenfunktion, Ψ ( x , t ) {\Darstellungsstil \Psi (x,t)} $\Psi (x,t)$ ist trennbar, d.h. die Annahme der Funktion zweier Variablen kann als das Produkt zweier verschiedener Funktionen einer einzigen Variablen geschrieben werden:

Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) T ( t ) {\Anzeigestil \Psi (x,t)=\psi (x)T(t)} {\Anzeigestil \Psi (x,t)=\psi (x)T(t)} $\Psi (x,t)=\psi (x)T(t)$

dann kann mit Hilfe der mathematischen Standardtechniken der partiellen Differentialgleichungen gezeigt werden, dass die Wellengleichung in zwei verschiedene Differentialgleichungen umgeschrieben werden kann

i ℏ d T ( t ) d t = E T ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}}=E\,T(t)} $i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)$

- ℏ 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\bar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)$

wobei die erste Gleichung allein von der Zeit T ( t ) abhängt {\darstellungsstil T(t)} $T(t)$ , und die zweite Gleichung hängt nur von der Position ab ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} $\psi (x)$ und wobei E {\darstellungsstil E} $E$ nur eine Zahl ist. Die erste Gleichung kann sofort gelöst werden und ergibt

T ( t ) = e - i E t ℏ {\displaystyle T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\bar }}}} $T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}$

wobei e {\Anzeigestil e} $e$ die Eulersche Zahl ist. Lösungen der zweiten Gleichung hängen von der Funktion der potentiellen Energie ab, V ( x ) {\darstellungsstil V(x)} $V(x)$ und kann daher nicht gelöst werden, solange diese Funktion nicht gegeben ist. Mit Hilfe der Quantenmechanik kann gezeigt werden, dass die Zahl E {\Anzeigeart E} $E$ eigentlich die Energie des Systems ist, so dass diese trennbaren Wellenfunktionen Systeme konstanter Energie beschreiben. Da die Energie in vielen wichtigen physikalischen Systemen konstant ist (z.B.: ein Elektron in einem Atom), wird oft die zweite Gleichung des oben vorgestellten Satzes von trennbaren Differentialgleichungen verwendet. Diese Gleichung ist als die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung bekannt, da sie nicht t {\darstellungsstil t} $t$ beinhaltet.

Interpretationen der Wave-Funktion

Geborene Interpretation

Es gibt viele philosophische Interpretationen der Wellenfunktion, und einige der führenden Ideen sollen hier betrachtet werden. Die Hauptidee, die so genannte Born-Wahrscheinlichkeitsinterpretation (benannt nach dem Physiker Max Born) stammt von der einfachen Idee, dass die Wellenfunktion quadratisch integrierbar ist; d.h.

∫ - ∞ ∞ | Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty$

Diese recht einfache Formel hat große physikalische Auswirkungen. Born stellte die Hypothese auf, dass das obige Integral bestimmt, dass das Teilchen irgendwo im Raum existiert. Aber wie können wir es finden? Wir verwenden das Integral

∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\displaystyle \int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)} $\int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)$

wobei P ( b < x < a ) {\Darstellungsstil P(b<x<a)} die $P(b<x<a)$ Wahrscheinlichkeit ist, das Teilchen in der Region von b {\Darstellungsstil b} bis a {\Darstellungsstil $b$ a} zu finden. Mit anderen Worten, alles, was über ein Teilchen im Allgemeinen im Voraus bekannt sein kann, sind Wahrscheinlichkeiten, Mittelwerte und andere statistische Größen, die mit seinen physikalischen Größen (Position, Impuls usw.) verbunden sind. Im Grunde ist dies die Born-Interpretation.

Kopenhagener Interpretation

Eine Erweiterung der oben genannten Ideen kann vorgenommen werden. Da die Born-Interpretation besagt, dass das tatsächliche Positionsteilchen nicht bekannt sein kann, können wir Folgendes ableiten. Wenn Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... Ψ n {\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}} $\Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}$ Lösungen der Wellengleichung sind, dann ist die Überlagerung dieser Lösungen, d.h.

Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + c n Ψ n {\Anzeigestil \Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\Punkte +c_{n}\Psi _{n}}} $\Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}$

ist auch eine Lösung. Das bedeutet also, dass das Teilchen in jeder möglichen Position existiert. Wenn ein Beobachter kommt und die Position des Teilchens misst, dann wird die Überlagerung auf eine einzige mögliche Wellenfunktion reduziert. (d.h., Ψ s {\Darstellungsstil \Psi _{s}} → $\Psi _{s}$ Ψ n {\Anzeigestil \Psi _{n}} $\Psi _{n}$ , wobei Ψ n {\Darstellungsstil \Psi _{n}} einer der möglichen Wellenfunktionszustände $\Psi _{n}$ ist). Aus dieser Vorstellung, dass die Position eines Teilchens nicht genau bekannt sein kann und dass ein Teilchen in mehreren Positionen gleichzeitig existiert, ergibt sich das Unschärfeprinzip. Die mathematische Formulierung dieses Prinzips kann gegeben sein durch

Δ x Δ p > ℏ 2 {\Anzeigestil \Delta x\Delta p>{\frac {\bar }{2}}} $\Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}$

Wobei Δ x {\Anzeigestil \Delta x} $\Delta x$ die Unsicherheit in der Position und Δ p {\Anzeigestil \Delta p} $\Delta p$ die Unsicherheit im Momentum ist. Dieses Prinzip lässt sich mathematisch aus den Fourier-Transformationen zwischen Impuls und Position gemäß der Definition der Quantenmechanik ableiten, aber wir werden es in diesem Artikel nicht ableiten.

Andere Interpretationen

Es gibt verschiedene andere Interpretationen, wie z.B. die Vielwelten-Interpretation und den Quantendeterminismus.

Fragen und Antworten

F: Was ist die Schrödinger-Gleichung?

A: Die Schrödinger-Gleichung ist eine Differentialgleichung, die die Grundlage der Quantenmechanik bildet und von Erwin Schrödinger im Jahr 1925 aufgestellt wurde. Sie definiert eine Wellenfunktion eines Teilchens oder Systems, die an jedem Punkt im Raum zu jeder gegebenen Zeit einen bestimmten Wert hat.

F: Welche Informationen können durch die Manipulation der Wellenfunktion gewonnen werden?

A: Durch mathematische Manipulation der Wellenfunktion lassen sich reale Werte für physikalische Eigenschaften wie Position, Impuls, Energie usw. ermitteln.

F: Was bedeutet es, wenn ein Teilchen viele verschiedene Positionen, Energien, Geschwindigkeiten oder andere physikalische Eigenschaften gleichzeitig haben kann?

A: Das bedeutet, dass sich die Wellenfunktion gleichzeitig in einer Reihe verschiedener Zustände befinden kann und ein Teilchen daher gleichzeitig viele verschiedene Positionen, Energien, Geschwindigkeiten oder andere physikalische Eigenschaften haben kann (d.h. "an zwei Orten gleichzeitig sein kann").

F: Was ist ein Wellenfunktionskollaps?

A: Wenn eine dieser Eigenschaften gemessen wird, hat sie nur einen bestimmten Wert (der nicht mit Sicherheit vorhergesagt werden kann), und die Wellenfunktion befindet sich daher nur in einem bestimmten Zustand. Dies scheint durch den Akt der Beobachtung oder Messung verursacht zu werden.

F: Was sind einige Komponenten der Schrödinger-Gleichung?

A: Zu den Komponenten der Schrödinger-Gleichung gehören i, das gleich der Quadratwurzel -1 ist; ℏ, das für die reduzierte Plancksche Konstante steht; t, das für die Zeit steht; x, das für die Position steht; Ψ (x , t), das für die Wellenfunktionen steht; und V(x), das für die potentielle Energie als noch nicht gewählte Funktion der Position steht.

F: Wie interpretieren wir den Kollaps der Wellenfunktionen?

A: Die genaue Ursache und Interpretation des Wellenfunktionskollapses ist in der wissenschaftlichen Gemeinschaft noch immer umstritten.