Bijektive Funktion

In der Mathematik ist eine bijektive Funktion oder Bijektion eine Funktion f : A → B, die sowohl eine Injektion als auch eine Surjektion ist. Das bedeutet: für jedes Element b in der Codomäne B gibt es genau ein Element a in der Domäne A, so dass f(a)=b. Ein anderer Name für Bijektion ist 1-1 Korrespondenz.

Der Begriff Bijektion und die damit verbundenen Begriffe Surjektion und Injektion wurden von Nicholas Bourbaki eingeführt. In den 1930er Jahren veröffentlichte er zusammen mit einer Gruppe anderer Mathematiker eine Reihe von Büchern über moderne fortgeschrittene Mathematik.

Grundlegende Eigenschaften

Formell:

f : A → B {\Anzeigestil f:A\Rechtspfeil B} $f:A\rightarrow B$ ist eine bijektive Funktion, wenn ∀ b ∈ B {\Anzeigestil \für alle b\in B} gibt es eine $\forall b\in B$ eindeutige a ∈ A {\Anzeigestil a\in A} $a\in A$ , so dass f ( a ) = b . {\Anzeigestil f(a)=b\,. } $f(a)=b\,.$

Das Element b {\Darstellungsstil b} $b$ wird als das Bild des Elements a {\Darstellungsstil a} bezeichnet.

Die formale Definition bedeutet: Jedes Element der Codomäne B ist das Abbild von genau einem Element der Domäne A.

Das Element a {\Darstellungsstil a} wird als Vorabbild des Elements b {\Darstellungsstil b} bezeichnet $b$ .

Die formale Definition bedeutet: Jedes Element der Codomäne B hat genau ein Vorabbild in der Domäne A.

Hinweis: Surjektion bedeutet mindestens ein Vorabbild. Injektion bedeutet maximal ein Vor-Bild. Bijektion bedeutet also genau ein Vor-Bild.

Kardinalität

Kardinalität ist die Anzahl der Elemente in einer Menge. Die Kardinalität von A={X,Y,Z,W} ist 4. Wir schreiben #A=4.

Definition: Zwei Mengen A und B haben die gleiche Kardinalität, wenn zwischen den Mengen eine Bijektion besteht. Also bedeutet #A=#B, dass es eine Bijektion von A nach B gibt.

Bijektionen und Umkehrfunktionen

Bijektionen sind durch Umkehren der Pfeile umkehrbar. Die neue Funktion wird als Umkehrfunktion bezeichnet.

Formell: Lasst f : A → B eine Bijektion sein. Die Umkehrfunktion g : B → A ist definiert durch wenn f(a)=b, dann g(b)=a. (Siehe auch Inverse Funktion).

Die Umkehrfunktion der Umkehrfunktion ist die ursprüngliche Funktion.
Eine Funktion hat dann und nur dann eine inverse Funktion, wenn es sich um eine Bijektion handelt.

Hinweis: Die Notation für die Umkehrfunktion von f ist verwirrend. Nämlich

f - 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)} $f^{-1}(x)$ Funktion f, aber x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}} $x^{-1}={\frac {1}{x}}$ bezeichnet den Kehrwert der Zahl x.

Beispiele

Elementare Funktionen

Sei f(x):ℝ→ℝ eine reellwertige Funktion y=f(x) eines reellwertigen Arguments x. (Das bedeutet, dass sowohl die Eingabe als auch die Ausgabe Zahlen sind).

Grafische Bedeutung: Die Funktion f ist eine Bijektion, wenn jede horizontale Linie den Graphen von f in genau einem Punkt schneidet.
Algebraische Bedeutung: Die Funktion f ist eine Bijektion, wenn wir für jede reelle Zahl _yo mindestens eine reelle Zahl xo finden können, so dass _yo=f(xo) und wenn f(xo)=f(x1) xo=x1 bedeutet.

Zu beweisen, dass eine Funktion eine Bijektion ist, bedeutet zu beweisen, dass sie sowohl eine Surjektion als auch eine Injektion ist. Daher sind formale Beweise selten einfach. Im Folgenden diskutieren wir und beweisen nicht. (Siehe Surjektion und Injektion).

Beispiel: Die lineare Funktion einer schrägen Linie ist eine Bijektion. Das heißt, y=ax+b, wobei a≠0 eine Bijektion ist.

Diskussion: Jede horizontale Linie schneidet eine schräge Linie in genau einem Punkt (siehe Surjektion und Injektion für Proofs). Abbildung 1.

Beispiel: Die Polynomfunktion dritten Grades: f(x)=x3 ist eine Bijektion. Bild 2 und Bild 5 dünne gelbe Kurve. Ihre Umkehrung ist die Würfelwurzelfunktion f(x)= ∛x und sie ist ebenfalls eine Bijektion f(x):ℝ→ℝ. Bild 5: dicke grüne Kurve.

Beispiel: Die quadratische Funktion f(x) = x2 ist keine Bijektion (aus ℝ→ℝ). Abbildung 3. Es handelt sich nicht um eine Surjektion. Es handelt sich nicht um eine Injektion. Wir können jedoch sowohl ihre Domäne als auch ihre Codomäne auf die Menge der nicht-negativen Zahlen (0,+∞) beschränken, um eine (invertierbare) Bijektion zu erhalten (siehe Beispiele unten).

Hinweis: Dieses letzte Beispiel zeigt dies. Um festzustellen, ob eine Funktion eine Bijektion ist, müssen wir drei Dinge wissen:

die Domäne
die Funktionsmaschine
der Codomain

Beispiel: Angenommen, unsere Funktionsmaschine ist f(x)=x².

Diese Maschine und domain=ℝ und codomain=ℝ ist keine Surjektion und keine Injektion. Allerdings,
dieselbe Maschine und domain=[0,+∞) und codomain=[0,+∞) ist sowohl eine Surjektion als auch eine Injektion und somit eine Bijektion.

Bijektionen und ihre Inversen

Lasst f(x):A→B, wobei A und B Teilmengen von ℝ sind.

Angenommen, f ist keine Bijektion. Für jedes x, bei dem die Ableitung von f existiert und nicht Null ist, gibt es eine Nachbarschaft von x, in der wir die Domäne und Codomäne von f so einschränken können, dass sie eine Bijektion ist.
Die Graphen der inversen Funktionen sind symmetrisch in Bezug auf die Linie y=x. (Siehe auch Inverse Funktion).

Beispiel: Die quadratische Funktion, die auf der eingeschränkten Domäne und Codomäne definiert ist [0,+∞].

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\Anzeigestil f(x):[0,+\infty \,\,\,\,\,\,Pfeil rechts \,\,[0,+\infty )} definiert durch $f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )$ f ( x ) = x 2 {\Anzeigestil f(x)=x^{2}} $f(x)=x^{2}$

ist eine Bijektion. Bild 6: dünne gelbe Kurve.

Beispiel: Die Quadratwurzelfunktion, die auf der eingeschränkten Domäne und Codomäne [0,+∞] definiert ist

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) Anzeigestil f(x):[0,+\infty \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+\infty )} definiert durch $f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )$ f ( x ) = x {\Anzeigestil f(x)={\sqrt {x}} $f(x)={\sqrt {x}}$

ist die Bijektion, definiert als die Umkehrfunktion der quadratischen Funktion: x2. Bild 6: dicke grüne Kurve.

Beispiel: Die Exponentialfunktion, die auf der Domain ℝ und der eingeschränkten Codomain (0,+∞) definiert ist.

f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {\Anzeigestil f(x):\mathbf {R} \,\,\,\rechtspfeil \,\,(0,+\infty )} definiert durch $f(x):\mathbf {R} \,\,\rightarrow \,\,(0,+\infty )$ f ( x ) = a x , a > 1 {\Anzeigestil f(x)=a^{x}\,,\,\,a>1} $f(x)=a^{x}\,,\,\,a>1$

ist eine Bijektion. Bild 4: dünne gelbe Kurve (a=10).

Beispiel: Die logarithmische Funktion basiert auf der eingeschränkten Domäne (0,+∞) und der Codomäne ℝ

f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\Anzeigestil f(x):(0,+\infty )\,\,\,\,\,\mathbf {R} } definiert durch $f(x):(0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,\mathbf {R}$ f ( x ) = log a x , a > 1 {\Anzeigestil f(x)=\log _{a}x\,,\,\,\,a>1} $f(x)=\log _{a}x\,,\,\,a>1$

ist die Bijektion, definiert als die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion: ^ax. Bild 4: dicke grüne Kurve (a=10).

Bijektion: jede vertikale Linie (im Bereich) und jede horizontale Linie (im Bereich der Codierung) schneidet genau einen Punkt des Graphen.

1. Bijektion. Alle schrägen Linien sind Bijektionen f(x):ℝ→ℝ.

2. Bijektion. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³.

3. Keine Bijektion. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x² ist keine Bijektion. Es handelt sich nicht um eine Injektion.

4. Bijektionen. f(x):ℝ→ (0,+∞). f(x)=10x (dünnes Gelb) und seine Umkehrung f(x):(0,+∞)→ℝ. f(x)=log10x (dickes Grün).

5. Bijektionen. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³ (dünnes Gelb) und seine Umkehrung f(x)=∛x (dickes Grün).

6. Bijektionen. f(x):[0,+∞)→[0,+∞). f(x)=x² (dünnes Gelb) und seine Umkehrung f(x)=√x (dickes Grün).

Fragen und Antworten

F: Was ist eine bijektive Funktion?

A: Eine bijektive Funktion, auch bekannt als Bijektion, ist eine mathematische Funktion, die sowohl eine Injektion als auch eine Surjektion ist.

F: Was bedeutet es, dass eine Funktion eine Injektion ist?

A: Eine Injektion bedeutet, dass für zwei beliebige Elemente a und a' im Bereich A, wenn f(a)=f(a'), dann a=a'.

F: Was bedeutet es, dass eine Funktion eine Surjektion ist?

A: Eine Surjektion bedeutet, dass es für jedes Element b in der Codomäne B mindestens ein Element a in der Domäne A gibt, für das f(a)=b gilt.

F: Was ist die Äquivalenzaussage für eine Bijektion?

A: Die äquivalente Aussage für eine Bijektion ist, dass es für jedes Element b in der Codomäne B genau ein Element a in der Domäne A gibt, für das f(a)=b gilt.

F: Was ist ein anderer Name für Bijektion?

A: Bijektion ist auch als "1-1-Korrespondenz" oder "Eins-zu-Eins-Korrespondenz" bekannt.

F: Wer hat die Begriffe Bijektion, Surjektion und Injektion eingeführt?

A: Die Begriffe Bijektion, Surjektion und Injektion wurden von Nicolas Bourbaki und einer Gruppe anderer Mathematiker in den 1930er Jahren eingeführt.

F: Was haben Bourbaki und andere Mathematiker in den 1930er Jahren veröffentlicht?

A: Bourbaki und andere Mathematiker veröffentlichten eine Reihe von Büchern über moderne fortgeschrittene Mathematik.