Bijektive Funktion (Bijektion): Definition, Injektion & Surjektion

Formell:

f : A → B {\Anzeigestil f:A\Rechtspfeil B} ist eine bijektive Funktion, wenn ∀ b ∈ B {\Anzeigestil \für alle b\in B} gibt es eineeindeutige a ∈ A {\Anzeigestil a\in A}, so dass f ( a ) = b . {\Anzeigestil f(a)=b\,. }

Das Element b {\Darstellungsstil b} wird als das Bild des Elements a {\Darstellungsstil a} bezeichnet.

• Die formale Definition bedeutet: Jedes Element der Codomäne B ist das Abbild von genau einem Element der Domäne A.

Das Element a {\Darstellungsstil a} wird als Vorabbild des Elements b {\Darstellungsstil b} bezeichnet.

• Die formale Definition bedeutet: Jedes Element der Codomäne B hat genau ein Vorabbild in der Domäne A.

Hinweis: Surjektion bedeutet mindestens ein Vorabbild. Injektion bedeutet maximal ein Vor-Bild. Bijektion bedeutet also genau ein Vor-Bild.

Kardinalität ist die Anzahl der Elemente in einer Menge. Die Kardinalität von A={X,Y,Z,W} ist 4. Wir schreiben #A=4.

• Definition: Zwei Mengen A und B haben die gleiche Kardinalität, wenn zwischen den Mengen eine Bijektion besteht. Also bedeutet #A=#B, dass es eine Bijektion von A nach B gibt.

• Bijektionen sind durch Umkehren der Pfeile umkehrbar. Die neue Funktion wird als Umkehrfunktion bezeichnet.

Formell: Lasst f : A → B eine Bijektion sein. Die Umkehrfunktion g : B → A ist definiert durch wenn f(a)=b, dann g(b)=a. (Siehe auch Inverse Funktion).

• Die Umkehrfunktion der Umkehrfunktion ist die ursprüngliche Funktion.
• Eine Funktion hat dann und nur dann eine inverse Funktion, wenn es sich um eine Bijektion handelt.

Hinweis: Die Notation für die Umkehrfunktion von f ist verwirrend. Nämlich

  f - 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)}Funktion f, aber x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}} bezeichnet den Kehrwert der Zahl x.

Elementare Funktionen

Sei f(x):ℝ→ℝ eine reellwertige Funktion y=f(x) eines reellwertigen Arguments x. (Das bedeutet, dass sowohl die Eingabe als auch die Ausgabe Zahlen sind).

• Grafische Bedeutung: Die Funktion f ist eine Bijektion, wenn jede horizontale Linie den Graphen von f in genau einem Punkt schneidet.
• Algebraische Bedeutung: Die Funktion f ist eine Bijektion, wenn wir für jede reelle Zahl _yo mindestens eine reelle Zahl xo finden können, so dass _yo=f(xo) und wenn f(xo)=f(x1) xo=x1 bedeutet.

Beispiel: Die lineare Funktion einer schrägen Linie ist eine Bijektion. Das heißt, y=ax+b, wobei a≠0 eine Bijektion ist.

Diskussion: Jede horizontale Linie schneidet eine schräge Linie in genau einem Punkt (siehe Surjektion und Injektion für Proofs). Abbildung 1.

Beispiel: Die Polynomfunktion dritten Grades: f(x)=x3 ist eine Bijektion. Bild 2 und Bild 5 dünne gelbe Kurve. Ihre Umkehrung ist die Würfelwurzelfunktion f(x)= ∛x und sie ist ebenfalls eine Bijektion f(x):ℝ→ℝ. Bild 5: dicke grüne Kurve.

Beispiel: Die quadratische Funktion f(x) = x2 ist keine Bijektion (aus ℝ→ℝ). Abbildung 3. Es handelt sich nicht um eine Surjektion. Es handelt sich nicht um eine Injektion. Wir können jedoch sowohl ihre Domäne als auch ihre Codomäne auf die Menge der nicht-negativen Zahlen (0,+∞) beschränken, um eine (invertierbare) Bijektion zu erhalten (siehe Beispiele unten).

• die Domäne
• die Funktionsmaschine
• der Codomain

Beispiel: Angenommen, unsere Funktionsmaschine ist f(x)=x².

• Diese Maschine und domain=ℝ und codomain=ℝ ist keine Surjektion und keine Injektion. Allerdings,
• dieselbe Maschine und domain=[0,+∞) und codomain=[0,+∞) ist sowohl eine Surjektion als auch eine Injektion und somit eine Bijektion.

Bijektionen und ihre Inversen

Lasst f(x):A→B, wobei A und B Teilmengen von ℝ sind.

• Angenommen, f ist keine Bijektion. Für jedes x, bei dem die Ableitung von f existiert und nicht Null ist, gibt es eine Nachbarschaft von x, in der wir die Domäne und Codomäne von f so einschränken können, dass sie eine Bijektion ist.
• Die Graphen der inversen Funktionen sind symmetrisch in Bezug auf die Linie y=x. (Siehe auch Inverse Funktion).

Beispiel: Die quadratische Funktion, die auf der eingeschränkten Domäne und Codomäne definiert ist [0,+∞].

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\Anzeigestil f(x):[0,+\infty \,\,\,\,\,\,Pfeil rechts \,\,[0,+\infty )} definiert durchf ( x ) = x 2 {\Anzeigestil f(x)=x^{2}}

ist eine Bijektion. Bild 6: dünne gelbe Kurve.

Beispiel: Die Quadratwurzelfunktion, die auf der eingeschränkten Domäne und Codomäne [0,+∞] definiert ist

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) Anzeigestil f(x):[0,+\infty \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+\infty )} definiert durchf ( x ) = x {\Anzeigestil f(x)={\sqrt {x}}

ist die Bijektion, definiert als die Umkehrfunktion der quadratischen Funktion: x2. Bild 6: dicke grüne Kurve.

f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {\Anzeigestil f(x):\mathbf {R} \,\,\,\rechtspfeil \,\,(0,+\infty )} definiert durchf ( x ) = a x , a > 1 {\Anzeigestil f(x)=a^{x}\,,\,\,a>1}

ist eine Bijektion. Bild 4: dünne gelbe Kurve (a=10).

Beispiel: Die logarithmische Funktion basiert auf der eingeschränkten Domäne (0,+∞) und der Codomäne ℝ

f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\Anzeigestil f(x):(0,+\infty )\,\,\,\,\,\mathbf {R} } definiert durchf ( x ) = log a x , a > 1 {\Anzeigestil f(x)=\log _{a}x\,,\,\,\,a>1}

ist die Bijektion, definiert als die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion: ^ax. Bild 4: dicke grüne Kurve (a=10).

• Funktion (Mathematik)
• Surjektive Funktion
• Injektive Funktion
• Umgekehrte Funktion