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Surjektive Funktion (Surjektion): Definition, Beispiele & Eigenschaften

Surjektive Funktion (Surjektion) verständlich erklärt: Definition, anschauliche Beispiele und wichtige Eigenschaften – inkl. Vergleiche zu Injektion & Bijektion.

Autor: Leandro Alegsa

27-02-2026

In der Mathematik ist eine surjektive (auch „auf“ oder engl. „onto“) Funktion f : A → B durch die folgende Eigenschaft gekennzeichnet: Für jedes Element b in der Codomäne B existiert mindestens ein Element a in der Domäne A, so dass f(a) = b. Formal: ∀b ∈ B ∃a ∈ A mit f(a) = b. Äquivalent dazu sagt man auch, dass der Bereich (das Bild) von f mit der Codomäne B übereinstimmt, also Bild(f) = B.

Einfaches Beispiel

- Sei A = {1,2,3}, B = {a,b} und definiere f durch f(1)=a, f(2)=b, f(3)=a. Dann ist f surjektiv, denn jedes Element von B (a und b) hat mindestens ein Urbild in A.

- Die Abbildung f: ℝ → ℝ, f(x) = x³ ist surjektiv, weil zu jedem y ∈ ℝ das Urbild x = ∛y existiert.

- Die Abbildung g: ℝ → ℝ, g(x) = e^x ist nicht surjektiv, weil kein x ∈ ℝ ein negatives y ∈ ℝ liefert (Bild(g) = (0, ∞) ≠ ℝ).

Wichtige Eigenschaften

Bild-Kriterium: f ist surjektiv genau dann, wenn Bild(f) = B.
Rechtsinverse: f ist surjektiv genau dann, wenn es eine Funktion h: B → A gibt mit f ∘ h = id_B. Eine solche h heißt Rechtsinverse von f.
Zusammensetzung: Ist f: A → B und g: B → C, dann gilt:
- Wenn f und g surjektiv sind, so ist g ∘ f surjektiv.
- Wenn g ∘ f surjektiv ist, so ist g surjektiv (f muss nicht zwangsläufig surjektiv sein).
Bei endlichen Mengen: Ist A und B endlich und f: A → B surjektiv, dann gilt |A| ≥ |B|. Ist zusätzlich f injektiv, dann ist |A| = |B| und f ist bijektiv.
Zusammenhang mit Injektivität/Bijektion: Eine Funktion ist bijektiv genau dann, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Zu jeder bijektiven Funktion existiert daher eine zweiseitige Inverse.

Wie prüft man Surjektivität?

Um zu zeigen, dass f: A → B surjektiv ist, nimmt man ein beliebiges, aber festes Element b ∈ B und zeigt konstruktiv oder durch Rechnung, dass es mindestens ein a ∈ A mit f(a) = b gibt. Bei vielen konkreten Funktionen löst man dazu die Gleichung f(a) = b nach a auf und zeigt, dass für alle b die Lösung in A liegt.

Weitere Beispiele und Hinweise

- Die Projektion π: A × B → A, π(a,b) = a ist surjektiv, da zu jedem a ∈ A beispielsweise das Paar (a, beliebiges b) ein Urbild liefert.

- Die Abbildung modulo n p: ℤ → ℤ/nℤ, x ↦ [x] ist surjektiv, weil jede Restklasse durch ein ganzzahliges Repräsentantenelement erreicht wird.

- Eine Abbildung von einer kleineren endlichen Menge in eine größere kann nicht surjektiv sein (z. B. f: {1,2} → {a,b,c}).

Beziehung zu historischen Begriffen

Der Begriff Surjektion und die damit verbundenen Begriffe Injektion und Bijektion wurden von der Gruppe von Mathematikern eingeführt, die sich selbst Nicholas Bourbaki nannte. In den 1930er Jahren veröffentlichte diese Gruppe von Mathematikern eine Reihe von Büchern über moderne fortgeschrittene Mathematik. Die französische Vorsilbe sur bedeutet über oder auf und wurde gewählt, da eine surjektive Funktion ihre Domäne auf ihre Codomäne abbildet.

Zusammenfassung: Surjektivität bedeutet, dass die Funktion „alles trifft“ — jedes Element der Zielmenge wird von mindestens einem Element der Ausgangsmenge erreicht. Dies ist eine der grundlegenden Eigenschaften von Abbildungen und spielt eine zentrale Rolle in vielen Bereichen der Mathematik (Algebra, Analysis, Kombinatorik, Topologie usw.).

Grundlegende Eigenschaften

Formell:

f : A → B {\Darstellungsstil f:A\Rechtspfeil B} $f:A\rightarrow B$ ist eine surjektive Funktion, wenn ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A {\Darstellungsstil \für alle b\in B\,\,\,\in A} existiert a\in A} $\forall b\in B\,\,\exists a\in A$ , so dass f ( a ) = b . {\darstellungsstil f(a)=b\,. } $f(a)=b\,.$

Das Element b {\Darstellungsstil b} $b$ wird als das Bild des Elements a {\Darstellungsstil a} bezeichnet.

Die formale Definition bedeutet: Jedes Element der Codomäne B ist das Abbild mindestens eines Elements der Domäne A.

Das Element a {\Darstellungsstil a} wird als Vorabbild des Elements b {\Darstellungsstil b} bezeichnet $b$ .

Die formale Definition bedeutet: Jedes Element der Codomäne B hat mindestens ein Vorabbild in der Domäne A.

Ein Vorabbild muss nicht einzigartig sein. Im oberen Bild sind sowohl {X} als auch {Y} Vorabbildungen des Elements {1}. Es ist nur wichtig, dass es mindestens ein Vorbild gibt. (Siehe auch: Injektive Funktion, Bijektive Funktion)

Beispiele

Elementare Funktionen

Sei f(x):ℝ→ℝ eine reellwertige Funktion y=f(x) eines reellwertigen Arguments x. (Das bedeutet, dass sowohl die Eingabe als auch die Ausgabe Zahlen sind).

Grafische Bedeutung: Die Funktion f ist eine Surjektion, wenn jede horizontale Linie den Graphen von f in mindestens einem Punkt schneidet.
Analytische Bedeutung: Die Funktion f ist eine Surjektion, wenn wir für jede reelle Zahl _yo mindestens eine reelle Zahl xo finden können, so dass _yo=f(xo).

Die Suche nach einem Vorabbild xo für ein bestimmtes _Yo ist gleichbedeutend mit einer der beiden Fragen:

Gibt es für die Gleichung f(x)-yo=0 eine Lösung? oder
Hat die Funktion f(x)-yo eine Wurzel?

In der Mathematik können wir exakte (analytische) Wurzeln nur von Polynomen ersten, zweiten (und dritten) Grades finden. Wurzeln aller anderen Funktionen finden wir näherungsweise (numerisch). Das bedeutet, dass ein formaler Nachweis der Surjektivität selten direkt ist. Daher sind die nachfolgenden Diskussionen informell.

Beispiel: Die lineare Funktion einer schrägen Linie ist auf. Das heißt, y=ax+b, wobei a≠0 eine Surjektion ist. (Es ist auch eine Injektion und damit eine Bijektion).

Beweise: Ersetze _yo in die Funktion und löse für x. Seit a≠0 erhalten wir x= (_yo-b)/a. Das bedeutet, dass xo=(_yo-b)/a ein Vorabbild von _yo ist. Dies beweist, dass die Funktion y=ax+b, wobei a≠0 eine Surjektion ist. (Da es genau ein Prä-Bild gibt, ist diese Funktion auch eine Injektion).

Praktisches Beispiel: y= -2x+4. Was ist das Vorabbild von y=2? Die Lösung: Hier ist a= -2, d.h. a≠0 und die Frage lautet: Für welches x ist y=2? Wir setzen y=2 in die Funktion ein. Wir erhalten x=1, d.h. y(1)=2. Die Antwort lautet also: x=1 ist das Vorabbild von y=2.

Beispiel: Das kubische Polynom (dritten Grades) f(x)=x3-3x ist eine Surjektion.

Diskussion: Die kubische Gleichung x3-3x-yo=0 hat reelle Koeffizienten (a3=1, a2=0, a1=-3, a0=-yo). Jede solche kubische Gleichung hat mindestens eine reelle Wurzel. Da die Domäne des Polynoms ℝ ist, bedeutet das, dass es mindestens ein Vorbild xo in der Domäne gibt. Das heißt, (x0)^3-3x0-yo=0. Die Funktion ist also eine Surjektion. (Diese Funktion ist jedoch keine Injektion. Zum Beispiel, _yo=2 hat 2 Vorbilder: x=-1 und x=2. Tatsächlich hat jedes y, -2≤y≤2 mindestens 2 Vorabbildungen).

Beispiel: Die quadratische Funktion f(x) = x2 ist keine Surjektion. Es gibt kein x, so dass x2 = -1 ist. Der Bereich von x² ist [0,+∞) , d.h. die Menge der nicht-negativen Zahlen. (Auch diese Funktion ist keine Injektion).

Hinweis: Man kann eine nicht-surjektive Funktion zu einer Surjektion machen, indem man ihre Codomäne auf Elemente ihres Bereichs beschränkt. Zum Beispiel die neue Funktion, fN(x):ℝ → [0,+∞] wobei fN(x) = x2 eine surjektive Funktion ist. (Dies ist nicht dasselbe wie die Einschränkung einer Funktion, die den Bereich einschränkt!)

Beispiel: Die Exponentialfunktion f(x) = 10x ist keine Surjektion. Der Bereich von 10x ist (0,+∞), d.h. die Menge der positiven Zahlen. (Diese Funktion ist eine Injektion).

Surjektion. f(x):ℝ→ℝ (und Injektion)

Surjektion. f(x):ℝ→ℝ (keine Injektion)

Keine Surjektion. f(x):ℝ→ℝ (noch eine Injektion)

Keine Surjektion. f(x):ℝ→ℝ (ist aber eine Injektion)

Surjektion. f(x):(0,+∞)→ℝ (und Injektion)

Unterwerfung. z:ℝ²→ℝ, z=y. (Das Bild zeigt, dass das Vorbild von z=2 die Linie y=2 ist).

Weitere Beispiele mit realwertigen Funktionen

Beispiel: Die logarithmische Funktion zur Basis 10 f(x):(0,+∞)→ℝ definiert durch f(x)=log(x) oder y=log10(x) ist eine Surjektion (und eine Injektion). (Dies ist die Umkehrfunktion von 10x).

Die Projektion eines kartesischen Produkts A × B auf einen seiner Faktoren ist eine Surjektion.

Beispiel: Die durch z=y definierte Funktion f((x,y)):ℝ²→ℝ ist eine Surjektion. Ihr Graph ist eine Ebene im 3-dimensionalen Raum. Das Vorbild von zo ist die Linie y=zo in der x0y-Ebene.

Bei 3D-Spielen wird der 3-dimensionale Raum mit einer Surjektion auf eine 2-dimensionale Leinwand projiziert.

Fragen und Antworten

F: Was ist eine surjektive Funktion in der Mathematik?

A: Eine surjektive Funktion in der Mathematik ist eine Funktion f: A → B mit der Eigenschaft, dass es für jedes Element b in der Codomäne B mindestens ein Element a in der Domäne A gibt, für das f(a)=b gilt.

F: Was ist die Bedeutung einer surjektiven Funktion in der Mathematik?

A: Eine surjektive Funktion stellt sicher, dass kein Element im Codomain unabgebildet ist und dass der Bereich und der Codomain von f die gleiche Menge sind.

F: Woher stammt der Begriff Surjektion?

A: Der Begriff Surjektion wurde von einer Gruppe von Mathematikern namens Nicholas Bourbaki eingeführt.

F: Welche Bedeutung hat die französische Vorsilbe sur in surjektiv?

A: Die französische Vorsilbe sur bedeutet über oder auf.

F: Warum wurde der Begriff surjektiv für diese Art von Funktion gewählt?

A: Der Begriff surjektiv wurde für diese Art von Funktion gewählt, weil eine surjektive Funktion ihre Domäne auf ihre Codomäne abbildet.

F: Wer veröffentlichte in den 1930er Jahren eine Reihe von Büchern über moderne fortgeschrittene Mathematik?

A: Die Gruppe von Mathematikern namens Nicholas Bourbaki veröffentlichte in den 1930er Jahren eine Reihe von Büchern über moderne fortgeschrittene Mathematik.

F: Was sind Injektion und Bijektion in der Mathematik?

A: Injektion und Bijektion sind verwandte Begriffe zur Surjektion in der Mathematik. Eine Injektionsfunktion stellt sicher, dass keine zwei Elemente in der Domäne auf dasselbe Element in der Codomäne abgebildet werden. Eine Bijektionsfunktion ist sowohl surjektiv als auch injektiv.