Injektive Funktion

In der Mathematik ist eine injektive Funktion eine Funktion f : A → B mit der folgenden Eigenschaft. Für jedes Element b in der Cododomäne B gibt es maximal ein Element a in der Domäne A, so dass f(a)=b.

Der Begriff Injektion und die damit verbundenen Begriffe Surjektion und Bijektion wurden von Nicholas Bourbaki eingeführt. In den 1930er Jahren veröffentlichte er zusammen mit einer Gruppe anderer Mathematiker eine Reihe von Büchern über moderne fortgeschrittene Mathematik.

Eine injektive Funktion wird oft als 1-1-Funktion bezeichnet. Eine 1-1-Entsprechung ist jedoch eine bijektive Funktion (sowohl injektive als auch surjektive). Dies ist verwirrend, seien Sie also vorsichtig.

Grundlegende Eigenschaften

Formell:

f : A → B {\Anzeigestil f:A\Rechtspfeil B} $f:A\rightarrow B$ ist eine injektive Funktion, wenn ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {\Darstellungsstil \forall a_{1},\,a_{2},\,\,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\,\Rechtspfeil \,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})} $\forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\Rightarrow \,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})$ oder gleichwertig

f : A → B {\Anzeigestil f:A\Rechtspfeil B} $f:A\rightarrow B$ ist eine injektive Funktion, wenn ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {\Darstellungsstil \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\,\Rechtspfeil \,\,a_{1}=a_{2}} $\forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\Rightarrow \,\,a_{1}=a_{2}$

Das Element a {\darstellungsstil a} wird als Vorabbild des Elements b {\darstellungsstil b} bezeichnet, wenn $b$ f ( a ) = b {\darstellungsstil f(a)=b} $f(a)=b$ jedes Element b in B ein oder keine Prä-Bilder.

Kardinalität

Kardinalität ist die Anzahl der Elemente in einer Menge. Die Kardinalität von A={X,Y,Z,W} ist 4. Wir schreiben #A=4.

Wenn die Kardinalität der Codomäne kleiner als die Kardinalität der Domäne ist, kann die Funktion keine Injektion sein. (Es gibt zum Beispiel keine Möglichkeit, 6 Elemente auf 5 Elemente abzubilden, ohne ein Duplikat).

Beispiele

Elementare Funktionen

Sei f(x):ℝ→ℝ eine reellwertige Funktion y=f(x) eines reellwertigen Arguments x. (Das bedeutet, dass sowohl die Eingabe als auch die Ausgabe reelle Zahlen sind).

Grafische Bedeutung: Die Funktion f ist eine Injektion, wenn jede horizontale Linie den Graphen von f in höchstens einem Punkt schneidet.
Algebraische Bedeutung: Die Funktion f ist eine Injektion, wenn f(xo)=f(x1) bedeutet xo=x1.

Beispiel: Die lineare Funktion einer schrägen Linie ist 1-1. Das heißt, y=ax+b, wobei a≠0 eine Injektion ist. (Es ist auch eine Surjektion und damit eine Bijektion).

Beweise: Lass xo und x1 reelle Zahlen sein. Angenommen, die Linie bildet diese beiden x-Werte auf den gleichen y-Wert ab. Dies bedeutet a-xo+b=a-x1+b. Subtrahieren Sie b von beiden Seiten. Wir erhalten a-xo=a-x1. Dividieren Sie nun beide Seiten durch a (erinnern Sie sich an a≠0). Wir erhalten xo=x1. Damit haben wir die formale Definition und die Funktion y=ax+b bewiesen, wobei a≠0 eine Injektion ist.

Beispiel: Die Polynomfunktion dritten Grades: f(x)=x3 ist eine Injektion. Die Polynomfunktion dritten Grades: f(x)=x3 -3x ist jedoch keine Injektion.

Diskussion 1: Jede horizontale Linie schneidet den Graphen von

f(x)=x3 genau einmal. (Außerdem ist es eine Surjektion).

Diskussion 2. Jede horizontale Linie zwischen y=-2 und y=2 schneidet den Graphen in drei Punkten, so dass diese Funktion keine Injektion ist. (Es handelt sich jedoch um eine Surjektion).

Beispiel: Die quadratische Funktion f(x) = x2 ist keine Injektion.

Diskussion: Jede horizontale Linie y=c, bei der c>0 den Graphen in zwei Punkten schneidet. Diese Funktion ist also keine Injektion. (Sie ist auch keine Surjektion).

Hinweis: Man kann eine nicht-injektive Funktion in eine injektive Funktion umwandeln, indem man einen Teil der Domäne eliminiert. Wir nennen dies die Domäne einschränken. Beschränken Sie zum Beispiel den Bereich von f(x)=x² auf nicht-negative Zahlen (positive Zahlen und Null). Definieren Sie .

f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R {\Anzeigestil f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rechterPfeil \mathbf {R} } wobei $f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R}$ f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 {\Anzeigestil f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}} $f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}$

Diese Funktion ist jetzt eine Injektion. (Siehe auch Einschränkung einer Funktion).

Beispiel: Die Exponentialfunktion f(x) = 10x ist eine Injektion. (Es handelt sich jedoch nicht um eine Surjektion).

Diskussion: Jede horizontale Linie schneidet die Grafik in höchstens einem Punkt. Die horizontalen Linien y=c mit c>0 schneiden sie in genau einem Punkt. Die horizontalen Linien y=c, wobei c≤0 das Diagramm an keinem Punkt schneidet.

Hinweis: Die Tatsache, dass eine Exponentialfunktion injektiv ist, kann in Berechnungen verwendet werden.

a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {\Darstellungsstil a^{x_{0}}}=a^{x_{1}}}\,\,\,\Rechtspfeil \,\,x_{0}=x_{1},\,a>0} $a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\Rightarrow \,\,x_{0}=x_{1},\,a>0$

Beispiel: 100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {\Displaystyle 100=10^{x-3}\,\,\,\Rechtspfeil \,\,2=x-3\,\,\,\Rechtspfeil \,\,x=5} $100=10^{x-3}\,\,\Rightarrow \,\,2=x-3\,\,\Rightarrow \,\,x=5$

Injektion: keine horizontale Linie schneidet mehr als einen Punkt des Diagramms

Injektion. f(x):ℝ→ℝ (und Surjektion)

Keine Injektion. f(x):ℝ→ℝ (ist Surjektion)

Keine Injektion. f(x):ℝ→ℝ (nicht Surjektion)

Injektion. f(x):ℝ→ℝ (nicht Surjektion)

Injektion. f(x):(0,+∞)→ℝ (und Surjektion)

Andere Beispiele

Beispiel: Die logarithmische Funktion zur Basis 10 f(x):(0,+∞)→ℝ definiert durch f(x)=log(x) oder y=log10(x) ist eine Injektion (und eine Surjektion). (Dies ist die Umkehrfunktion von 10x).

Beispiel: Die Funktion f:ℕ→ℕ, die jede natürliche Zahl n auf 2n abbildet, ist eine Injektion. Jede gerade Zahl hat genau eine Vorabbildung. Jede ungerade Zahl hat kein Vorabbild.

Fragen und Antworten

F: Was ist eine injektive Funktion in der Mathematik?

A: Eine injektive Funktion ist eine Funktion f: A → B mit der Eigenschaft, dass bestimmte Elemente im Bereich auf bestimmte Elemente im Mitbereich abgebildet werden.

F: Welche Beziehung besteht zwischen den Elementen in Domäne und Codomäne einer injektiven Funktion?

A: Für jedes Element b im Codomain B gibt es höchstens ein Element a im Domain A, für das f(a)=b gilt.

F: Wer hat die Begriffe Injektion, Surjektion und Bijektion eingeführt?

A: Nicholas Bourbaki und eine Gruppe anderer Mathematiker führten die Begriffe Injektion, Surjektion und Bijektion ein.

F: Was bedeutet eine injektive Funktion?

A: Eine injektive Funktion bedeutet, dass jedes Element in der Domäne A auf ein eindeutiges Element in der Codomäne B abgebildet wird.

F: Was ist der Unterschied zwischen einer injektiven Funktion und einer 1-1-Korrespondenz?

A: Eine injektive Funktion wird oft als 1-1 (eins-zu-eins)-Funktion bezeichnet, unterscheidet sich aber von einer 1-1-Korrespondenz, die eine bijektive Funktion ist (sowohl injektiv als auch surjektiv).

F: Was ist die Eigenschaft einer injektiven Funktion?

A: Die Eigenschaft einer injektiven Funktion besteht darin, dass bestimmte Elemente im Bereich auf bestimmte Elemente im Mitbereich abgebildet werden.

F: Was ist die Bedeutung injektiver Funktionen in der Mathematik?

A: Injektive Funktionen spielen in vielen mathematischen Bereichen eine wichtige Rolle, z. B. in der Topologie, der Analysis und der Algebra, da sie eindeutige Elemente im Bereich auf eindeutige Elemente im Codebereich abbilden.