Determinante

Die Determinante einer quadratischen Matrix ist ein Skalar (eine Zahl), der etwas darüber aussagt, wie sich diese Matrix verhält. Sie können die Determinante aus den Zahlen in der Matrix berechnen.

"Die Determinante der Matrix A {\darstellungsstil A} $A$ " wird als det ( A ) {\displaystyle \det(A)} $\det(A)$ oder | A | {\displaystyle |A|} $|A|$ in einer Formel geschrieben. Manchmal wird anstelle von det ( [ a b c d ] ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}}}right)} und | [ $\det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right)$ a b c d ] {\displaystyle \left|{\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}}right|} geschrieben. $\left|{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right|$ schreiben wir einfach det [ a b c d ] {\displaystyle \det {\an{\a&b\\c&d\end{bmatrix}}} und | a $\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ b c d {\displaystyle \links{\an{\matrix}a&b\c&d\end{matrix}}}right|} .

Auslegung

Es gibt einige Möglichkeiten zu verstehen, was die Determinante über die Matrix aussagt.

Geometrische Interpretation

Eine n × n {\Darstellungsstil n\ mal n} $n\times n$ Matrix kann als Beschreibung einer linearen Karte in n {\Darstellungsstil n} Dimensionen angesehen werden. In diesem Fall gibt die Determinante den Faktor an, um den diese Matrix einen Bereich des n {\Darstellungsstils n} -dimensionalen Raums skaliert (wächst oder schrumpft).

Zum Beispiel eine 2 × 2 {\Anzeigestil 2\ mal 2} $2\times 2$ Matrix A {\Anzeigestil A} $A$ als lineare Karte gesehen, verwandelt ein Quadrat im 2-dimensionalen Raum in ein Parallelogramm. Die Fläche dieses Parallelogramms ist det ( A ) {\displaystyle \det(A)} $\det(A)$ mal so groß wie die Fläche des Quadrats.

Auf die gleiche Weise verwandelt eine 3 × 3 {\darstellungsart 3\ mal 3} $3\times 3$ Matrix B {\darstellungsart B} $B$ , als lineare Karte gesehen, einen Würfel im 3-dimensionalen Raum in einen Parallelepiped. Das Volumen dieses Parallelepipeds ist det ( B ) {\displaystyle \det(B)} $\det(B)$ mal so groß wie das Volumen des Würfels.

Die Determinante kann negativ sein. Eine lineare Karte kann ein Volumen strecken und skalieren, aber sie kann es auch über eine Achse abbilden. Wann immer dies geschieht, wechselt das Vorzeichen der Determinante von positiv zu negativ oder von negativ zu positiv. Eine negative Determinante bedeutet, dass das Volumen über eine ungerade Anzahl von Achsen gespiegelt wurde.

Auslegung "Gleichungssystem".

Sie können eine Matrix als Beschreibung eines Systems linearer Gleichungen sehen. Dieses System hat eine einzigartige nicht-triviale Lösung genau dann, wenn die Determinante nicht 0 ist. (Nichttrivial bedeutet, dass die Lösung nicht nur aus allen Nullen besteht).

Wenn die Determinante Null ist, dann gibt es entweder keine eindeutige nicht-triviale Lösung oder es gibt unendlich viele.

Für eine 2 × 2 {\Anzeigestil 2\ mal 2} $2\times 2$ Matrix [ a c b d ] {\Anzeigestil {\Beginn{Matrix}a&c\\b&d\Ende{Matrix}}} ${\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}$ Die Determinante ist die Fläche eines Parallelogramms. (Die Fläche ist gleich a d - b c {\darstellungsstil ad-bc} $ad-bc$ .)

Singuläre Matrizen

Eine Matrix hat genau dann eine inverse Matrix, wenn die Determinante nicht 0 ist. Aus diesem Grund wird eine Matrix mit einer Determinante ungleich Null als invertierbar bezeichnet. Wenn die Determinante 0 ist, wird die Matrix als nicht invertierbar oder singulär bezeichnet.

Geometrisch gesehen kann man sich eine singuläre Matrix als "Abflachung" des Parallelepipeds zu einem Parallelogramm oder eines Parallelogramms zu einer Linie vorstellen. Dann ist das Volumen oder die Fläche 0, und es gibt keine lineare Karte, die die alte Form wiederherstellt.

Berechnen einer Determinante

Es gibt ein paar Möglichkeiten, eine Determinante zu berechnen.

Formeln für kleine Matrizen

Für 1 × 1 {\Darstellungsstil 1\ mal 1} $1\times 1$ und 2 × 2 {\Darstellungsstil 2\ mal 2} $2\times 2$ Matrizen können Sie sich die Formeln merken:

det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad {\det {\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc. } $\det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.$

Für 3 × 3 {\darstellungsstil 3\ mal 3} $3\times 3$ Matrizen lautet die Formel:

det [ a b c d e f g h h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\det {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}} ${\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}$

Sie können die Sarrusregel (siehe Bild) verwenden, um sich diese Formel zu merken.

Erweiterung des Kofaktors

Bei größeren Matrizen ist die Determinante schwieriger zu berechnen. Eine Möglichkeit, dies zu tun, heißt Kofaktor-Expansion.

Nehmen wir an, wir haben eine n × n {\Darstellungsstil n\ mal $n\times n$ n}Matrix A {\Darstellungsstil A} $A$ . Zuerst wählen wir eine beliebige Zeile oder Spalte der Matrix aus. Für jede Zahl a i j {\darstellungsstil a_{ij}} $a_{ij}$ in dieser Zeile oder Spalte berechnen wir etwas, das als Kofaktor C i j {\darstellungsstil C_{ij}} bezeichnet wird. $C_{ij}$ . Dann det ( A ) = ∑ a i j C i j {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}}} $\det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}$ .

Zur Berechnung eines solchen Ko-Faktors C i j {\darstellungsstil C_{ij}} $C_{ij}$ löschen wir Zeile i {\Anzeigestil i} $i$ und Spalte j {\Anzeigestil j} $j$ aus der Matrix A {\Anzeigestil A} $A$ . Dadurch erhalten wir eine kleinere ( n - 1 ) × ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\Anzeigestil (n-1)\ mal (n-1)} $(n-1)\times (n-1)$ Matrix. Wir nennen sie M {\Darstellungsstil M} $M$ . Der Kofaktor C i j {\darstellungsstil C_{ij}}} $C_{ij}$ ist dann gleich ( - 1 ) i + j det ( M ) {\darstellungsstil (-1)^{{i+j}\det(M)} $(-1)^{i+j}\det(M)$ .

Hier ist ein Beispiel für eine Kofaktor-Expansion der linken Spalte einer 3 × 3 {\Darstellungsstil 3\ mal $3\times 3$ 3}-Matrix:

det [ 1 3 2 2 2 1 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = − 11. {\Anzeigestil {\beginnt {\ausgerichtet}}}det {\Beginn{\Matrix}{\Farbe {rot}1}&3&2\\\Farbe {\Rot}2}&1&1\\\Farbe {Rot}0}&3&4\Ende{Matrix}}&={\Farbe {rot}1}\Punkt C_{11}+{\Farbe {rot}2}\Punkt C_{21}+{\Farbe {rot}0}\Punkt C_{31}\\\\&=\links({\Farbe {rot}\1}\Punkt (-1)^{1+1}\det {\Beginn{Matrix}1&1\\\3&4\ende{Matrix}}\rechts)+\links({\Farbe {rot}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\Beginn{Matrix}3&2\\\3&4\ende{Matrix}}\rechts)+\links({\Farbe {rot}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\Beginn{Matrix}3&2\\\1&1\Ende{Matrix}}\rechts)\\\&=({\Farbe {rot}\1}\cPunkt 1\cPunkt 1)+({\Farbe {rot}2}\cPunkt (-1)\cPunkt 6)+{\Farbe {rot}0}\\\&=-11.\ende{ausgerichtet}}} ${\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\&=-11.\end{aligned}}$

Wie Sie hier sehen können, können wir Arbeit sparen, indem wir eine Zeile oder Spalte mit vielen Nullen wählen. Wenn a i j {\darstellungsstil a_{ij}} $a_{ij}$ 0 ist, brauchen wir C i j {\darstellungsstil C_{ij}} nicht zu berechnen. $C_{ij}$ .

Die $3\times 3$ Bestimmungsformel 3 × 3 {\Darstellungsstil 3\ mal 3} ist eine Summe von Produkten. Diese Produkte verlaufen entlang von Diagonalen, die sich zum oberen Ende der Matrix "wickeln". Dieser Trick wird die Sarrusregel genannt.

Fragen und Antworten

F: Was ist eine Determinante?

A: Eine Determinante ist ein Skalar (eine Zahl), die angibt, wie sich eine quadratische Matrix verhält.

F: Wie kann die Determinante einer Matrix berechnet werden?

A: Die Determinante der Matrix kann aus den Zahlen in der Matrix berechnet werden.

Q: Wie wird die Determinante einer Matrix geschrieben?

A: Die Determinante einer Matrix wird als det(A) oder |A| in einer Formel geschrieben.

F: Gibt es noch andere Möglichkeiten, die Determinante einer Matrix auszuschreiben?

A: Ja, anstelle von det([a b c d]) und |[a b c d]| kann man auch einfach det [a b c d] und |[a b c d]| schreiben.

F: Was bedeutet es, wenn wir "Skalar" sagen?

A: Ein Skalar ist eine einzelne Zahl oder Größe, die zwar einen Betrag, aber keine Richtung hat.

F: Was sind quadratische Matrizen?

A: Quadratische Matrizen sind Matrizen mit einer gleichen Anzahl von Zeilen und Spalten, wie z.B. 2x2 oder 3x3 Matrizen.