Parallelepiped

Jedes der drei Paare paralleler Flächen kann als Grundebenen des Prismas betrachtet werden. Ein Parallelepiped hat drei Sätze von vier parallelen Kanten; die Kanten innerhalb jedes Satzes sind gleich lang.

Parallelepipeds entstehen durch lineare Transformationen eines Würfels (für die nicht-degenerierten Fälle: die bijektiven linearen Transformationen).

Da jede Fläche eine Punktsymmetrie aufweist, ist ein Parallelepiped ein Zonoeder. Auch das gesamte Parallelepiped hat die Punktsymmetrie Ci (siehe auch Triklinik). Jede Fläche ist, von außen gesehen, das Spiegelbild der gegenüberliegenden Fläche. Die Flächen sind im Allgemeinen chiral, das Parallelepiped aber nicht.

Eine raumfüllende Tessellierung ist mit kongruenten Kopien eines beliebigen Parallelepipeds möglich.

Das Volumen eines Parallelepipeds ist das Produkt aus der Fläche seiner Basis A und seiner Höhe h. Die Basis ist eine der sechs Seiten des Parallelepipeds. Die Höhe ist der senkrechte Abstand zwischen der Basis und der gegenüberliegenden Fläche.

Eine alternative Methode definiert die Vektoren a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) und c = (c1, c2, c3), um drei Kanten darzustellen, die sich an einem Scheitelpunkt treffen. Das Volumen des Parallelepipeds ist dann gleich dem Absolutwert des skalaren Dreifachprodukts a - (b × c):

V = | a ⋅ ( b × c ) | = | b ⋅ ( c × a ) | = | c ⋅ ( a × b ) | {\darstellungsstil V=\links|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \mal \mathbf {c} )\rechts|=\links|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \mal \mathbf {a} )\right|=\left|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \mathbf {b} {mathbf} {b} {right|}

Dies trifft zu, denn wenn wir b und c zur Darstellung der Kanten der Basis wählen, ist die Fläche der Basis per Definition das Kreuzprodukt (siehe geometrische Bedeutung des Kreuzprodukts),

A = | b | | | c | sin θ = | b × c | , {\darstellungsstil A=\links|\mathbf {b} \rechts|\links|\mathbf {c} \right|\sin \theta =\left|\mathbf {b} \mal \mathbf {c} \Richtig.}

wobei θ der Winkel zwischen b und c ist, und die Höhe

h = | a | | cos α , {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha ,}

wobei α der innere Winkel zwischen a und h ist.

Aus der Abbildung können wir ableiten, dass die Grösse von α auf 0° ≤ α < 90° begrenzt ist. Im Gegenteil, der Vektor b × c kann sich mit einem Innenwinkel β bilden, der größer als 90° ist (0° ≤ β ≤ 180°). Da nämlich b × c parallel zu h ist, ist der Wert von β entweder β = α oder β = 180° - α. Also

cos α = ± cos β = | cos β | , {\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =\left|\cos \beta \right|,}

und

h = | a | | | cos β | . {\darstellungsstil h=\links|\mathbf {a} \rechts|\links|\cos \beta \rechts}. }

Wir kommen zu dem Schluss, dass

V = A h = | a | | b × c | | | cos β | , {\darstellungsstil V=Ah=\links|\mathbf {a} {\rechts|\links|\mathbf {b} \mal \mathbf {c} rechts \links \cos \beta \rechts \}

der durch die Definition des Skalar- (oder Punkt-) Produktes dem absoluten Wert von a - (b × c), Q.E.D. entspricht.

Der letztgenannte Ausdruck entspricht auch dem Absolutwert der Determinante einer dreidimensionalen Matrix, die mit a, b und c als Zeilen (oder Spalten) aufgebaut ist:

V = | det [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] | . {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|. }

Dies wird mit Hilfe der Cramerschen Regel auf drei reduzierten zweidimensionalen Matrizen gefunden, die aus dem Original stammen.

Wenn a, b und c die parallelepipedischen Kantenlängen und α, β und γ die Innenwinkel zwischen den Kanten sind, beträgt das Volumen

V = a b c 1 + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) - cos 2 ( α ) - cos 2 ( β ) - cos 2 ( γ ) . {\Anzeigestil V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\,}}}. }

Entsprechender Tetraeder

Das Volumen eines jeden Tetraeders, der drei konvergierende Kanten eines Parallelepipeds teilt, hat ein Volumen, das einem Sechstel des Volumens dieses Parallelepipeds entspricht (siehe Beweis).

Für Parallelepipede mit einer Symmetrieebene gibt es zwei Fälle:

• es hat vier rechteckige Flächen
• es hat zwei rautenförmige Flächen, während von den anderen Flächen zwei benachbarte gleich sind und die anderen beiden ebenfalls (die beiden Paare sind das Spiegelbild des jeweils anderen).

Siehe auch monoklinisch.

Ein rechteckiger Quader, auch rechteckiger Parallelepiped oder manchmal einfach Quader genannt, ist ein Parallelepiped, bei dem alle Flächen rechteckig sind; ein Würfel ist ein Quader mit quadratischen Flächen.

Ein Rhomboeder ist ein Parallelepiped mit allen rhombischen Flächen; ein trigonales Trapez ist ein Rhomboeder mit kongruenten rhombischen Flächen.

Ein perfekter Parallelepiped ist ein Parallelepiped mit ganzzahligen Kantenlängen, Flächendiagonalen und Raumdiagonalen. Im Jahr 2009 wurde gezeigt, dass Dutzende von perfekten Parallelepipedern existieren, womit eine offene Frage von Richard Guy beantwortet wurde. Ein Beispiel hat die Kanten 271, 106 und 103, die kleinen Flächendiagonalen 101, 266 und 255, die großen Flächendiagonalen 183, 312 und 323 sowie die Raumdiagonalen 374, 300, 278 und 272.

Einige perfekte Parallelepipede mit zwei rechteckigen Flächen sind bekannt. Aber es ist nicht bekannt, ob es welche gibt, bei denen alle Flächen rechteckig sind; ein solcher Fall würde als perfekter Quader bezeichnet.

Coxeter nannte die Verallgemeinerung eines Parallelepipeds in höheren Dimensionen ein Parallelotop.

Insbesondere im n-dimensionalen Raum wird es n-dimensionales Parallelotop oder einfach n-Parallelplotop genannt. Ein Parallelogramm ist also ein 2-Parallelplotop und ein Parallelepiped ist ein 3-Parallelplotop.

Allgemeiner gesagt hat ein Parallelotop, oder Voronoi-Parallelotop, parallele und kongruente entgegengesetzte Facetten. Ein 2-Parallelotop ist also ein Parallelogon, das auch bestimmte Sechsecke umfassen kann, und ein 3-Parallelotop ist ein Paralleloeder, das 5 Arten von Polyedern umfasst.

Die Diagonalen eines n-Parallellots schneiden sich in einem Punkt und werden von diesem Punkt halbiert. Die Inversion in diesem Punkt lässt die n-Parallelope unverändert. Siehe auch Fixpunkte von Isometriengruppen im euklidischen Raum.

Die Kanten, die von einem Scheitelpunkt eines k-Parallellots ausgehen, bilden einen k-Rahmen ( v 1 , ... , v n ) {\darstellungsstil (v_{1},\ldots ,v_{n})} des Vektorraumes, und das Parallelotop kann aus diesen Vektoren wiederhergestellt werden, indem Linearkombinationen der Vektoren mit Gewichten zwischen 0 und 1 genommen werden.

Das n-Volumen eines n-Parallellots, eingebettet in R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}, wobei m ≥ n {\displaystyle m\geq n} mit Hilfe der Gram-Determinante berechnet werden kann. Alternativ ist das Volumen die Norm des äußeren Produktes der Vektoren:

V = ‖ v 1 ∧ ⋯ ∧ v n ‖ . {\Anzeigestil V=\links\|v_{1}\Keil \cdots \Keil v_{n}\rechts\|. }

Ist m = n, so entspricht dies dem Absolutwert der Determinante der n Vektoren.

Eine weitere Formel zur Berechnung des Volumens eines n-Parallellots P in R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , deren n + 1 Scheitelpunkte V 0 , V 1 , ... , V n {\Darstellungsstil V_{0},V_{1},\Punkte ,V_{n}} sind ist

V o l ( P ) = | d e t ( [ V 0 1 ] T , [ V 1 1 ] T , ... , [ V n 1 ] T ) | , {\displaystyle {\rm {Vol}}}(P)=|{\rm {det}}\ ([V_{0}\ 1]^{\rm {T}},[V_{1}\ 1]^{\rm {T}}},{\ldots ,[V_{{{n}\ 1]^{\rm {T}})|,}

wobei [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{\i}\ 1]} der Zeilenvektor ist, der durch die Verkettung von V i {\displaystyle V_{i}} und 1 gebildet wird, wobei die Determinante in der Tat unverändert bleibt, wenn [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{\0}\ 1]} von [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{\i}\ 1]} subtrahiert wird (i > 0), und das Setzen von [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} an die letzte Position ändert nur das Vorzeichen.

In ähnlicher Weise hat das Volumen eines n-Simplexes, der sich n konvergierende Kanten eines Parallelotops teilt, ein Volumen, das einem 1/n! des Volumens dieses Parallelotops entspricht.

Das Wort erscheint als Parallelepipedon in Sir Henry Billingsleys Übersetzung der Euklidschen Elemente von 1570. In der Ausgabe seines Cursus mathematicus von 1644 verwendete Pierre Hérigone die Schreibweise Parallelepipedum. Das Oxford English Dictionary zitiert das heutige Parallelepipedum als erstes Erscheinen in Walter Charletons Chorea gigantum (1663).

Charles Hutton's Dictionary (1795) zeigt Parallelepiped und Parallelepipedon und zeigt den Einfluss der kombinierenden Form Parallelopipedon, als ob das zweite Element nicht Epipedon, sondern Pipedon wäre. Noah Webster (1806) enthält die Schreibweise Parallelopiped. In der Ausgabe des Oxford English Dictionary von 1989 wird der Begriff "Parallelopiped" (und "Parallellipiped") explizit als falsche Form beschrieben, in der Ausgabe von 2004 sind diese jedoch kommentarlos aufgeführt, und es werden nur Aussprachen mit der Betonung auf der fünften Silbe pi (/paɪ/) angegeben.

Eine Abkehr von der traditionellen Aussprache hat die von den griechischen Wurzeln angedeutete unterschiedliche Unterteilung verdeckt, wobei Epi- ("on") und Pedon ("ground") kombiniert werden, um dem Epiped eine flache "Ebene" zu geben. So sind die Flächen eines Parallelepipeds eben, wobei die gegenüberliegenden Flächen parallel sind.