Eulersche Identität

Die Euler'sche Identität, manchmal auch Euler'sche Gleichung genannt, ist diese Gleichung:

e i π + 1 = 0 {\Anzeigestil e^{i\pi }+1=0} $e^{i\pi }+1=0$

π {\a6}Anzeige-Stil \pi } $\pi$ , pi

π ≈ ≈ 3.14159 {\displaystyle \pi \approx 3.14159} $\pi \approx 3.14159$

e {\Anzeigestil e} $e$ , Eulersche Zahl

e ≈ 2.71828 {\Anzeigestil e\approx 2.71828} $e\approx 2.71828$

i {\darstellungsstil i} $i$ , imaginäre Einheit

ı = √ - 1 {\darstellungsstil \imath =\surd {-1}} $\imath =\surd {-1}$

Die Identität Eulers ist nach dem Schweizer Mathematiker Leonard Euler benannt. Es ist nicht klar, ob er sie selbst erfunden hat.

Die Befragten einer Umfrage in der Welt der Physik nannten die Identität "die tiefgründigste mathematische Aussage, die je geschrieben wurde", "unheimlich und erhaben", "erfüllt von kosmischer Schönheit" und "überwältigend".

Mathematischer Nachweis der Eulerschen Identität mit Hilfe der Taylor-Reihe

Viele Gleichungen können als eine Reihe von Termen geschrieben werden, die addiert werden. Dies nennt man eine Taylor-Reihe

Die Exponentialfunktion e x {\Darstellungsstil e^{x}} $e^{x}$ kann als die Taylor-Reihe geschrieben werden

e x = 1 + x + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \über {2!}}+{x^{3} \über {3!}}+{x^{4} \über {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \über n!}} $e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}$

Sinus kann auch geschrieben werden als

sin x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - − x 7 7 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\darstellungsstil \sin {x}=x-{x^{3} \über 3!}+{x^{5} \über 5!}-{x^{7} \über 7!\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \über (2n+1)!}{x^{2n+1}}}} $\sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}$

und Cosinus als

cos x = 1 - x 2 2 2 ! + x 4 4 ! - − x 6 6 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\Anzeigestil \cos {x}=1-{x^{2} \über 2!}+{x^{4} \über 4!}-{x^{6} \über 6!\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \über (2n)!}{x^{2n}}} $\cos {x}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}$

Hier sehen wir, wie ein Muster Gestalt annimmt. e x {\darstellungsstil e^{x}} $e^{x}$ scheint eine Summe der Sinus- und Cosinus-Taylor-Reihe zu sein, außer dass alle Vorzeichen ins Positive geändert wurden. Die Identität, die wir tatsächlich beweisen, ist e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\darstellungsstil e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ .

Auf der linken Seite steht also e i x {\Anzeigestil e^{ix}} $e^{ix}$ , dessen Taylor-Reihe 1 + i x - x 2 2 2 ist ! - i x 3 3 3 ! + x 4 4 ! ...+ i x 5 5 5! ⋯ {\Anzeigeart 1+ix-{x^{2} \über 2!}-{ix^{3} \über 3!}+{x^{4} \über 4!}+{ix^{5} \über 5! \cdots } $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Wir können hier ein Muster erkennen, dass jeder zweite Term ein i-mal-Sinus-Term ist und dass die anderen Terme Kosinus-Terme sind.

Auf der rechten Seite steht cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)} $\cos(x)+i\sin(x)$ , dessen Taylor-Reihe die Taylor-Reihe des Kosinus plus i-mal die Taylor-Reihe des Sinus ist, die als gezeigt werden kann:

( 1 - x 2 2 2 ! + x 4 4 ! ⋯ ) + ( i x - i x 3 3 3 ! + i x 5 5 ! ⋯ ) {\Anzeigestil (1-{x^{2} \über 2!}+{x^{4} \über 4!}\Punkte )+(ix-{ix^{3} \über 3!}+{ix^{5} \über 5!}\Punkte )} $(1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )$

wenn wir diese zusammenzählen, haben wir

1 + i x - x 2 2 2 ! - i x 3 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 5! ⋯ {\Anzeigestil 1+ix-{x^{2} \über 2!}-{ix^{3} \über 3!}+{x^{4} \über 4!}+{ix^{5} \über 5! \cdots } $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Deshalb:

e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\darstellungsstil e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$

Wenn wir nun x durch π {\displaystyle \pi } ersetzen $\pi$ haben wir...

e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )} $e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )$

Dann wissen wir, dass

cos ( π ) = - 1 {\Anzeigestil \cos(\pi )=-1} $\cos(\pi )=-1$

und

sin ( π ) = 0 {\displaystyle \sin(\pi )=0} $\sin(\pi )=0$

Deshalb:

e i π = 0 - 1 {\Anzeigestil e^{i\pi }=0-1} $e^{i\pi }=0-1$
e i π + 1 = 0 {\Anzeigestil e^{i\pi }+1=0} $e^{i\pi }+1=0$

QED

Fragen und Antworten

F: Was ist die Eulersche Identität?

A: Die Eulersche Identität, manchmal auch Eulersche Gleichung genannt, ist eine Gleichung, die die mathematischen Konstanten pi, die Eulersche Zahl und die imaginäre Einheit zusammen mit drei der grundlegenden mathematischen Operationen (Addition, Multiplikation und Potenzierung) enthält. Die Gleichung lautet e^(i*pi) + 1 = 0.

F: Wer war Leonard Euler?

A: Leonard Euler war ein Schweizer Mathematiker, nach dem die Identität benannt ist. Es ist nicht klar, ob er sie selbst erfunden hat.

F: Was sind einige der Reaktionen auf die Eulersche Identität?

A: Die Teilnehmer einer Umfrage von Physics World nannten die Identität "die tiefgründigste mathematische Aussage, die je geschrieben wurde", "unheimlich und erhaben", "voller kosmischer Schönheit" und "umwerfend".

F: Welche Konstanten sind in dieser Gleichung enthalten?

A: Die Konstanten, die in dieser Gleichung vorkommen, sind Pi (ungefähr 3,14159), die Eulersche Zahl (ungefähr 2,71828) und eine imaginäre Einheit (gleich -1).

Q: Welche Operationen sind in dieser Gleichung enthalten?

A: Die Operationen, die in dieser Gleichung vorkommen, sind Addition, Multiplikation und Potenzierung.

Q: Wie kann man Pi mathematisch ausdrücken?

A: Pi kann mathematisch ausgedrückt werden als π ≈ 3,14159 {\displaystyle \pi \approx 3,14159}.

F: Wie können wir die Eulersche Zahl mathematisch ausdrücken? A:Die Eulersche Zahl lässt sich mathematisch als e ≈ 2.71828 {\displaystyle e\approx 2.71828} ausdrücken.