Taylorreihe

Die Idee zu dieser Reihe hatte der altgriechische Philosoph Zeno von Elea. Das Paradoxon nannte das Ergebnis "zeno's parodox". Er glaubte, es sei unmöglich, eine unendliche Anzahl von Werten zu addieren und als Ergebnis einen einzigen endlichen Wert zu erhalten.

Ein anderer griechischer Philosoph, Aristoteles, hat eine Antwort auf die philosophische Frage gefunden. Es war jedoch Archimedes, der mit seiner Methode der Erschöpfung eine mathematische Lösung fand. Er konnte beweisen, dass, wenn etwas in eine unendliche Anzahl von winzigen Stücken zerteilt wird, sich diese immer noch zu einem einzigen Ganzen summieren, wenn man sie alle wieder zusammenfügt. Der alte chinesische Mathematiker Liu Hui bewies dasselbe mehrere hundert Jahre später.

Die frühesten bekannten Beispiele der Taylor-Reihe sind die Arbeiten von Mādhava oder Sañgamāgrama in Indien in den 1300er Jahren. Später schrieben indische Mathematiker über seine Arbeit mit den trigonometrischen Funktionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Arkustangens. Keine der Schriften oder Aufzeichnungen von Mādhava existieren heute noch. Andere Mathematiker stützten ihre Arbeit auf die Entdeckungen von Mādhava und arbeiteten bis in die 1500er Jahre mehr mit diesen Reihen.

James Gregory, ein schottischer Mathematiker, arbeitete in den 1600er Jahren auf diesem Gebiet. Gregory studierte die Taylor-Reihe und veröffentlichte mehrere Maclaurin-Reihen. Im Jahr 1715 entdeckte Brook Taylor eine allgemeine Methode zur Anwendung der Reihe auf alle Funktionen. (Alle bisherigen Forschungen zeigten, wie man die Methode nur auf bestimmte Funktionen anwenden kann). Colin Maclaurin veröffentlichte in den 1700er Jahren einen Spezialfall der Taylor-Reihe. Diese Reihe, die um Null herum basiert, wird Maclaurin-Reihe genannt.

Eine Taylor-Reihe kann verwendet werden, um jede Funktion ƒ(x) zu beschreiben, die eine glatte Funktion ist (oder, mathematisch ausgedrückt, "unendlich differenzierbar"). Die Funktion ƒ kann entweder real oder komplex sein. Die Taylor-Reihe wird dann verwendet, um zu beschreiben, wie die Funktion in der Nachbarschaft einer Zahl a aussieht.

Diese Taylor-Reihe, als Potenzreihe geschrieben, sieht so aus:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + ⋯ ( x - a ) 3 + ⋯ . {\darstellungsstil f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots . }

Diese Formel kann auch in Sigma-Notation als geschrieben werden:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {\darstellungsstil \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}}

Hier ist n! die Fakultät von n. ƒ ⁽ⁿ⁾(a) ist die n-te Ableitung von ƒ am Punkt a. ein {\Darstellungsstil a} ist eine Zahl in der Domäne der Funktion. Wenn die Taylor-Reihe einer Funktion gleich dieser Funktion ist, wird die Funktion als "analytische Funktion" bezeichnet.

Maclaurin-Reihe

Wenn a = 0 {\Anzeigestil a=0} wird die Funktion als Maclaurin-Reihe bezeichnet. Die Maclaurin-Reihe als Potenzreihe geschrieben sieht so aus:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ . {\Anzeigestil f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots . }

In Sigma-Notation geschrieben, ist die Maclaurin-Reihe:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\darstellungsstil \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}}}

Einige wichtige Taylor-Reihen und Maclaurin-Reihen sind die folgenden.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ für alle x {\darstellungsstil \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}}{3!}}}+{\frac {x^{5}}{5!}}}-\ccdots {\text{ für alle }}x\! }

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ für alle x {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}}{2!}}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ für alle }}x\! }

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 für alle x {\darstellungsstil \sinh(x)=\summe _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}}x^{2n+1}{\text{ für alle }}x\! }

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n für alle x {\darstellungsstil \cosh(x)=\summe _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ für alle }}x\! }

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ für alle x {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{\für alle }}x\! }

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ für alle | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ für alle }}}|x|<1}

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n für alle | x | < 1 {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}x^{n}{\text{ für alle }}}|x|<1}

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ für | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!{}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}}{3}}}+{\frac {2x^{5}}}{15}}}+\cdots {\text{\an8}|x|<{\frac {\pi }{2}}}\! }

Dabei ist B n {\darstellungsstil B_{n}} die n-te Bernoulli-Zahl und ln {\darstellungsstil \ln } der natürliche Logarithmus.