Taylorreihe

Eine Taylor-Reihe ist eine Idee, die in der Informatik, der Analysis, der Chemie, der Physik und anderen Arten der Mathematik auf höherer Ebene verwendet wird. Es ist eine Reihe, die verwendet wird, um eine Schätzung (Vermutung) zu erstellen, wie eine Funktion aussieht. Es gibt auch eine besondere Art von Taylor-Reihen, die als Maclaurin-Reihen bezeichnet werden.

Die Theorie hinter der Taylor-Reihe besagt, dass wenn ein Punkt auf der Koordinatenebene (x- und y-Achse) gewählt wird, dann ist es möglich zu erraten, wie eine Funktion in der Umgebung dieses Punktes aussehen wird. Dies geschieht, indem man die Ableitungen der Funktion nimmt und sie alle zusammen addiert. Die Idee ist, dass es möglich ist, die unendliche Anzahl der Ableitungen zu addieren und eine einzige endliche Summe zu erhalten.

In der Mathematik zeigt eine Taylor-Reihe eine Funktion als Summe einer unendlichen Reihe. Die Terme der Summe werden aus den Ableitungen der Funktion entnommen. Taylor-Reihen stammen aus dem Taylor-Satz.

Eine Animation, die zeigt, wie eine Taylor-Reihe zur Annäherung an eine Funktion verwendet werden kann. Die blaue Linie zeigt die Exponentialfunktion f ( x ) = e x {\darstellungsstil f(x)=e^{x}} $f(x)=e^{x}$ . Die roten Linien zeigen die Summe von n Ableitungen, d.h. n+1 Terme in der Taylor-Reihe. Je größer n wird, desto näher rückt die rote Linie an die blaue Linie heran.

Geschichte

Die Idee zu dieser Reihe hatte der altgriechische Philosoph Zeno von Elea. Das Paradoxon nannte das Ergebnis "zeno's parodox". Er glaubte, es sei unmöglich, eine unendliche Anzahl von Werten zu addieren und als Ergebnis einen einzigen endlichen Wert zu erhalten.

Ein anderer griechischer Philosoph, Aristoteles, hat eine Antwort auf die philosophische Frage gefunden. Es war jedoch Archimedes, der mit seiner Methode der Erschöpfung eine mathematische Lösung fand. Er konnte beweisen, dass, wenn etwas in eine unendliche Anzahl von winzigen Stücken zerteilt wird, sich diese immer noch zu einem einzigen Ganzen summieren, wenn man sie alle wieder zusammenfügt. Der alte chinesische Mathematiker Liu Hui bewies dasselbe mehrere hundert Jahre später.

Die frühesten bekannten Beispiele der Taylor-Reihe sind die Arbeiten von Mādhava oder Sañgamāgrama in Indien in den 1300er Jahren. Später schrieben indische Mathematiker über seine Arbeit mit den trigonometrischen Funktionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Arkustangens. Keine der Schriften oder Aufzeichnungen von Mādhava existieren heute noch. Andere Mathematiker stützten ihre Arbeit auf die Entdeckungen von Mādhava und arbeiteten bis in die 1500er Jahre mehr mit diesen Reihen.

James Gregory, ein schottischer Mathematiker, arbeitete in den 1600er Jahren auf diesem Gebiet. Gregory studierte die Taylor-Reihe und veröffentlichte mehrere Maclaurin-Reihen. Im Jahr 1715 entdeckte Brook Taylor eine allgemeine Methode zur Anwendung der Reihe auf alle Funktionen. (Alle bisherigen Forschungen zeigten, wie man die Methode nur auf bestimmte Funktionen anwenden kann). Colin Maclaurin veröffentlichte in den 1700er Jahren einen Spezialfall der Taylor-Reihe. Diese Reihe, die um Null herum basiert, wird Maclaurin-Reihe genannt.

Definition

Eine Taylor-Reihe kann verwendet werden, um jede Funktion ƒ(x) zu beschreiben, die eine glatte Funktion ist (oder, mathematisch ausgedrückt, "unendlich differenzierbar"). Die Funktion ƒ kann entweder real oder komplex sein. Die Taylor-Reihe wird dann verwendet, um zu beschreiben, wie die Funktion in der Nachbarschaft einer Zahl a aussieht.

Diese Taylor-Reihe, als Potenzreihe geschrieben, sieht so aus:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + ⋯ ( x - a ) 3 + ⋯ . {\darstellungsstil f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots . } $f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .$

Diese Formel kann auch in Sigma-Notation als geschrieben werden:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {\darstellungsstil \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}} $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}$

Hier ist n! die Fakultät von n. ƒ ⁽ⁿ⁾(a) ist die n-te Ableitung von ƒ am Punkt a. ein {\Darstellungsstil a} ist eine Zahl in der Domäne der Funktion. Wenn die Taylor-Reihe einer Funktion gleich dieser Funktion ist, wird die Funktion als "analytische Funktion" bezeichnet.

Maclaurin-Reihe

Wenn a = 0 {\Anzeigestil a=0} $a=0$ wird die Funktion als Maclaurin-Reihe bezeichnet. Die Maclaurin-Reihe als Potenzreihe geschrieben sieht so aus:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ . {\Anzeigestil f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots . } $f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots .$

In Sigma-Notation geschrieben, ist die Maclaurin-Reihe:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\darstellungsstil \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}}} $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}$

Gemeinsame Taylor-Reihe

Einige wichtige Taylor-Reihen und Maclaurin-Reihen sind die folgenden.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ für alle x {\darstellungsstil \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}}{3!}}}+{\frac {x^{5}}{5!}}}-\ccdots {\text{ für alle }}x\! } $\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!$

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ für alle x {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}}{2!}}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ für alle }}x\! } $\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!$

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 für alle x {\darstellungsstil \sinh(x)=\summe _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}}x^{2n+1}{\text{ für alle }}x\! } $\sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ for all }}x\!$

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n für alle x {\darstellungsstil \cosh(x)=\summe _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ für alle }}x\! } $\cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for all }}x\!$

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ für alle x {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{\für alle }}x\! } $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ for all }}x\!$

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ für alle | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ für alle }}}|x|<1} ${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for all }}|x|<1$

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n für alle | x | < 1 {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}x^{n}{\text{ für alle }}}|x|<1} $\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{\text{ for all }}|x|<1$

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ für | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!{}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}}{3}}}+{\frac {2x^{5}}}{15}}}+\cdots {\text{\an8}|x|<{\frac {\pi }{2}}}\! } $\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!$

Dabei ist B n {\darstellungsstil B_{n}} $B_{n}$ die n-te Bernoulli-Zahl und ln {\darstellungsstil \ln } $\ln$ der natürliche Logarithmus.

Fragen und Antworten

F: Was ist eine Taylor-Serie?

A: Eine Taylor-Reihe ist eine Idee, die in der Informatik, der Kalkulation, der Chemie, der Physik und anderen Bereichen der höheren Mathematik verwendet wird. Es handelt sich um eine Reihe, die dazu verwendet wird, eine Schätzung (Vermutung) darüber zu erstellen, wie eine Funktion aussieht.

F: Was ist der Unterschied zwischen Taylor-Reihen und Maclaurin-Reihen?

A: Es gibt auch eine spezielle Art von Taylor-Reihe, die Maclaurin-Reihe.

F: Welche Theorie steckt hinter den Taylor-Reihen?

A: Die Theorie hinter der Taylor-Reihe besagt, dass man, wenn man einen Punkt auf der Koordinatenebene (x- und y-Achse) wählt, erraten kann, wie eine Funktion in der Umgebung dieses Punktes aussehen wird.

F: Wie wird die Funktion mithilfe von Taylor-Reihen erstellt?

A: Dies geschieht, indem die Ableitungen der Funktion genommen und addiert werden. Die Idee dahinter ist, dass es möglich ist, die unendliche Anzahl von Ableitungen zu addieren und so eine einzige endliche Summe zu erhalten.

F: Was zeigt eine Taylor-Reihe in der Mathematik?

A: In der Mathematik stellt eine Taylor-Reihe eine Funktion als Summe einer unendlichen Reihe dar. Die Terme der Summe werden aus den Ableitungen der Funktion entnommen.

F: Woher stammen Taylor-Reihen?

A: Taylor-Reihen stammen aus dem Taylor-Theorem.

F: In welchen Bereichen wird die Taylor-Reihe üblicherweise verwendet?

A: Die Taylor-Reihe wird häufig in der Informatik, der Kalkulation, der Chemie, der Physik und anderen Bereichen der höheren Mathematik verwendet.