Fibonacci-Zahl

Die Fibonacci-Zahlen sind eine Zahlenfolge in der Mathematik, benannt nach Leonardo von Pisa, bekannt als Fibonacci. Fibonacci schrieb 1202 ein Buch mit dem Titel Liber Abaci ("Buch des Rechnens"), das das Zahlenmuster in die westeuropäische Mathematik einführte, obwohl Mathematiker in Indien bereits davon wussten.

Die erste Zahl des Musters ist 0, die zweite Zahl ist 1, und jede Zahl danach ist gleich der Addition der beiden Zahlen direkt davor. Zum Beispiel 0+1=1 und 3+5=8. Diese Sequenz geht ewig weiter.

Dies kann als Wiederholungsrelation geschrieben werden,

F n = F n - 1 + F n - 2 {\Anzeigestil F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}} {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}

Damit dies Sinn macht, müssen mindestens zwei Ansatzpunkte gegeben werden. Hier ist F 0 = 0 {\darstellungsstil F_{0}=0} {\displaystyle F_{0}=0}und F 1 = 1 {\darstellungsstil F_{1}=1}{\displaystyle F_{1}=1} .

Eine Fibonacci-Spirale, die durch Ziehen einer Linie durch die Quadrate in der Fibonacci-Kachel entsteht; diese verwendet Quadrate der Größen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 und 34; siehe Goldene Spirale
Eine Fibonacci-Spirale, die durch Ziehen einer Linie durch die Quadrate in der Fibonacci-Kachel entsteht; diese verwendet Quadrate der Größen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 und 34; siehe Goldene Spirale

Fibonacci-Zahlen in der Natur

Die Fibonacci-Zahlen beziehen sich auf den Goldenen Schnitt, der sich an vielen Stellen in Gebäuden und in der Natur zeigt. Einige Beispiele sind das Muster von Blättern auf einem Stengel, die Teile einer Ananas, die Blüte einer Artischocke, das Aufblühen eines Farns und die Anordnung eines Kiefernzapfens. Die Fibonacci-Zahlen finden sich auch im Stammbaum der Honigbienen.

Sonnenblumenkopf mit Blüten in Spiralen von 34 und 55 um die Außenseite
Sonnenblumenkopf mit Blüten in Spiralen von 34 und 55 um die Außenseite

Binet'sche Formel

Die n-te Fibonacci-Zahl kann im Sinne des Goldenen Schnittes geschrieben werden. Dadurch wird vermieden, dass zur Berechnung der Fibonacci-Zahlen die Rekursion verwendet werden muss, was bei einem Computer sehr lange dauern kann.

F n = φ n - ( 1 - φ ) n 5 {\displaystyle F_{{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}} {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}}

wobei φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}} {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}der goldene Schnitt.

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