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Schwarzschild-Metrik: Definition und Formel der Schwarzschild-Lösung

Schwarzschild-Metrik: Definition, Formel und Bedeutung der Schwarzschild-Lösung in der Allgemeinen Relativitätstheorie – das Gravitationsfeld nicht-rotierender Schwarzer Löcher erklärt.

Autor: Leandro Alegsa

06-04-2026

Die Schwarzschild-Metrik wurde 1916 von Karl Schwarzschild als Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen berechnet. Sie ist auch als Schwarzschild-Lösung bekannt und ist eine Gleichung aus der Allgemeinen Relativitätstheorie auf dem Gebiet der Astrophysik. Eine Metrik bezieht sich auf eine Gleichung, die die Raumzeit beschreibt; insbesondere beschreibt eine Schwarzschild-Metrik das Gravitationsfeld um ein Schwarzschild-Schwarzes Loch - ein nicht rotierendes, kugelförmiges Schwarzes Loch ohne Magnetfeld, und wo die kosmologische Konstante Null ist.

Es ist im Wesentlichen eine Gleichung, die beschreibt, wie sich ein Teilchen durch den Raum in der Nähe eines Schwarzen Lochs bewegt.

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}}}}}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$

Formel und Bedeutung der Symbole

Die Schwarzschild-Metrik in Kugelkoordinaten (t, r, θ, φ) hat die Zeilenform

ds: linienelement (Infinitesimalabstand in der Raumzeit),
c: Lichtgeschwindigkeit,
G: Gravitationskonstante,
M: Massenparameter (die Gesamtmasse, wie sie aus dem Fernfeld gemessen wird),
r, θ, φ: kugelkoordinatenartige Raumkoordinaten, wobei r den arealen Radius bezeichnet (Flächeninvariante),
Der Faktor (1 - 2GM/(rc^2)) erscheint mehrfach und bestimmt die Abweichungen von der flachen Minkowski-Metrik.

Die charakteristische Längenskala der Lösung ist der Schwarzschild-Radius r_s = 2GM/c^2. Für r = r_s liegt der Ereignishorizont des schwarzen Lochs (für einen statischen Beobachter unüberwindbar), für r → ∞ geht die Metrik in die flache Raumzeit über.

Horizont, Singulärität und Koordinatenprobleme

Ereignishorizont: Bei r = r_s = 2GM/c^2 entsteht in der Schwarzschild-Darstellung eine sogenannte Koordinatensingulärität: die Komponenten der Metrik werden singular. Dies ist jedoch keine physikalische Singularität, sondern ein Artefakt der verwendeten Koordinaten. Mit geeigneten Koordinatentransformationen (z. B. Eddington–Finkelstein- oder Kruskal–Szekeres-Koordinaten) lässt sich das Verhalten am Horizont regularisieren.

Physikalische Singularität: Bei r = 0 liegt eine echte physikalische Singulärität vor, bei der die Krümmungsinvarianten (wie der Kretschmann-Skalar R_{αβγδ}R^{αβγδ}) divergieren; dort bricht die klassische Allgemeine Relativitätstheorie zusammen.

Wichtige physikalische Effekte und Radien

Gravitationsrotverschiebung und Zeitdilatation: Die Eigenzeit eines ruhenden Beobachters in Abstand r ist dτ = sqrt(1 - 2GM/(rc^2)) dt. Uhren in starken Gravitationsfeldern laufen langsamer gegenüber Uhren bei r → ∞.
Photonensphäre: Bei r = 3GM/c^2 existiert die Photonensphäre, auf der Licht auf instabilen Kreisbahnen laufen kann.
Innerer stabiler Orbit (ISCO): Der innerste stabile Kreisorbit für massive Teilchen liegt bei r = 6GM/c^2; innerhalb dieses Radius sind Kreisbahnen instabil.
Lichtablenkung: Für Licht, das an einem Körper mit Masse M im Abstand b vorbeifliegt, ergibt sich eine Ablenkung von ungefähr Δφ ≈ 4GM/(bc^2) im Newtonschen Grenzfall (kleiner Ablenkungswinkel). Diese Vorhersage wurde experimentell bestätigt (z. B. Sonnenbiegung von Sternenlicht).
Periheldrehung: Die Schwarzschild-Lösung erklärt die zusätzliche Periheldrehung von Planetenbahnen gegenüber der newtonschen Vorhersage; für die Periheldrehung pro Umlauf liefert die Näherung Δφ ≈ 6πGM/(a(1 - e^2)c^2) (a: große Halbachse, e: Exzentrizität).

Annahmen und Gültigkeitsbereich

Die Schwarzschild-Lösung ist eine vakuumlösung (außer ggf. bei r = 0) der Einsteinschen Feldgleichungen mit Λ = 0 (keine kosmologische Konstante).
Sie ist spherisch symmetrisch und stationär (keine Rotation, keine Zeitabhängigkeit der Metrik). Für rotierende Schwarze Löcher muss man die Kerr-Lösung verwenden; für elektrisch geladene statische Objekte die Reissner–Nordström-Lösung.
Nach dem Birkhoff-Theorem ist die Schwarzschild-Lösung die eindeutige äußere Lösung einer spherisch symmetrischen Massenverteilung: das äußere Feld hängt nur von der Gesamtmasse M ab, nicht von inneren Details.
Die Metrik beschreibt das Gravitationsfeld außerhalb der Masseverteilung; für reale Sterne oder Planeten ist die Schwarzschild-Lösung nur außerhalb der Materieverteilung (r größer als der Radius des Objekts) anwendbar.

Geodäten und Bewegungsteilchen

Die Bewegung von Teilchen und Licht in dieser Metrik folgt aus den Geodätengleichungen, die sich beispielsweise durch Variation des Lagrangefunktionals L = g_{μν} \dot x^{μ} \dot x^{ν} gewinnen lassen. Für zeitunabhängige und sphärisch-symmetrische Fälle existieren Erhaltungsgrößen (Energie und Drehimpuls), die die Bewegung auf eine effektive Radialgleichung mit einem effektiven Potential reduzieren und so u. a. die Existenz stabiler/instabiler Orbits erklären.

Praktische Bedeutung

Die Schwarzschild-Metrik ist die Grundlage für das Verständnis vieler astrophysikalischer Phänomene wie Accretion, Gravitationslensing und die Dynamik von Materie in der Umgebung kompakten Objekte.
Viele experimentelle Tests der Allgemeinen Relativitätstheorie (Periheldrehung von Merkur, Lichtablenkung an der Sonne, Gravitationsrotverschiebung) stimmen mit den Vorhersagen überein und bestätigen die Schwarzschild-Approximation im geeigneten Bereich.

Für tiefergehende Rechnungen werden oft spezielle Koordinaten (Eddington–Finkelstein, Kruskal–Szekeres) und Konzepte wie das Penrose-Diagramm herangezogen, um globale Eigenschaften der Raumzeit und die Struktur des Ereignishorizonts klar zu beschreiben.

Zusammenfassend liefert die Schwarzschild-Lösung eine einfache, aber sehr wichtige Beschreibung des Gravitationsfeldes außerhalb einer kugelsymmetrischen Masse in der allgemeinen Relativitätstheorie und bildet die Basis für weitergehende Modelle von Schwarzen Löchern und kompakten Objekten.

Ableitung

Obwohl eine kompliziertere Art der Berechnung der Schwarzschild-Metrik mit Hilfe der Christoffel-Symbole gefunden werden kann, lässt sie sich auch mit den Gleichungen für Fluchtgeschwindigkeit ( v e {\darstellungsstil v_{e}} $v_{e}$ ), Zeitdilatation (dt'), Längenkontraktion (dr') ableiten:

v e = v = 2 G M r {\Anzeigestil v_{e}=v={\sqrt {\frac {\frac {2GM}{r}}}} $v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}$ (1)

v ist die Geschwindigkeit des Teilchens
G ist die Gravitationskonstante
M ist die Masse des Schwarzen Lochs
r ist die Nähe des Teilchens zu dem schweren Objekt

d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} $dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$ (2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} $dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ (3)

dt' ist die wahre Änderung des Teilchens in der Zeit
dt ist die Änderung des Teilchens in der Zeit
dr' ist die wahre zurückgelegte Entfernung
dr ist die Änderung des Teilchens in der Entfernung
v ist die Geschwindigkeit des Teilchens
c ist die Lichtgeschwindigkeit

Hinweis: Das wahre Zeitintervall und die wahre Entfernung, die das Teilchen zurücklegt, unterscheiden sich von der Zeit und der Entfernung, die in den Berechnungen der klassischen Physik berechnet wurden, da es sich in einem so starken Gravitationsfeld bewegt!

Verwendung der Gleichung für die flache Raumzeit in sphärischen Koordinaten:

( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} $(ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (4)

ds ist die Bahn des Teilchens

θ {\displaystyle \theta } $\theta$ ist der Blickwinkel
d θ {\displaystyle \theta } $\theta$ und d ϕ {\displaystyle \phi } $\phi$ sind die Veränderung der Winkel

Eingabe der Gleichungen für Fluchtgeschwindigkeit, Zeitdilatation und Längenkontraktion (Gleichungen 1, 2 und 3) in die Gleichung für die flache Raumzeit (Gleichung 4), um die Schwarzschild-Metrik zu erhalten:

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}}}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi ^{2}}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (5)

Aus dieser Gleichung können wir den Schwarzschild-Radius ( r s {\darstellungsstil r_{s}} $r_{s}$ ), den Radius dieses Schwarzen Lochs, herausnehmen. Obwohl dies am häufigsten zur Beschreibung eines Schwarzen Lochs verwendet wird, kann der Schwarzschild-Radius für jedes schwere Objekt berechnet werden.

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\darstellungsstil (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}}}}}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (6)

r s {\Anzeigestil r_{s}} $r_{s}$ ist die eingestellte Radiusgrenze des Objekts

Fragen und Antworten

F: Was ist die Schwarzschild-Metrik?

A: Die Schwarzschild-Metrik ist eine Gleichung aus der allgemeinen Relativitätstheorie im Bereich der Astrophysik, die beschreibt, wie sich ein Teilchen durch den Raum in der Nähe eines Schwarzen Lochs bewegt. Sie wurde 1916 von Karl Schwarzschild als Lösung für die Einsteinschen Feldgleichungen berechnet.

F: Worauf bezieht sich eine Metrik?

A: Eine Metrik bezieht sich auf eine Gleichung, die die Raumzeit beschreibt; insbesondere beschreibt eine Schwarzschild-Metrik das Gravitationsfeld um ein Schwarzschild-Schwarzes Loch.

F: Was sind einige Merkmale des Schwarzschild-Schwarzlochs?

A: Das Schwarzschild-Schwarze Loch ist nicht rotierend, kugelförmig und hat kein Magnetfeld. Außerdem ist seine kosmologische Konstante gleich Null.

F: Wie können wir das Gravitationsfeld um ein Schwarzschild-Schwarzes Loch beschreiben?

A: Wir können es mit der metrischen Gleichung von Schwartzchild beschreiben, die beschreibt, wie sich Teilchen in der Nähe dieser Art von schwarzem Loch durch den Raum bewegen.

F: Wer hat diese Gleichung zuerst berechnet?

A: Karl Schwartzchild berechnete diese Gleichung erstmals 1916 als Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen.

F: Was bedeutet (ds)^2 in dieser Gleichung?

A: (ds)^2 steht für den Abstand zwischen zwei Punkten in der Raumzeit, gemessen in Bezug auf Zeit- und Raumkoordinaten.