Schwarzschild-Metrik
Die Schwarzschild-Metrik wurde 1916 von Karl Schwarzschild als Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen berechnet. Sie ist auch als Schwarzschild-Lösung bekannt und ist eine Gleichung aus der Allgemeinen Relativitätstheorie auf dem Gebiet der Astrophysik. Eine Metrik bezieht sich auf eine Gleichung, die die Raumzeit beschreibt; insbesondere beschreibt eine Schwarzschild-Metrik das Gravitationsfeld um ein Schwarzschild-Schwarzes Loch - ein nicht rotierendes, kugelförmiges Schwarzes Loch ohne Magnetfeld, und wo die kosmologische Konstante Null ist.
Es ist im Wesentlichen eine Gleichung, die beschreibt, wie sich ein Teilchen durch den Raum in der Nähe eines Schwarzen Lochs bewegt.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}}}}}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} 
Ableitung
Obwohl eine kompliziertere Art der Berechnung der Schwarzschild-Metrik mit Hilfe der Christoffel-Symbole gefunden werden kann, lässt sie sich auch mit den Gleichungen für Fluchtgeschwindigkeit ( v e {\darstellungsstil v_{e}}
), Zeitdilatation (dt'), Längenkontraktion (dr') ableiten:
v e = v = 2 G M r {\Anzeigestil v_{e}=v={\sqrt {\frac {\frac {2GM}{r}}}} 
(1)
v ist die Geschwindigkeit des Teilchens
G ist die Gravitationskonstante
M ist die Masse des Schwarzen Lochs
r ist die Nähe des Teilchens zu dem schweren Objekt
d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} 
(2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} 
(3)
dt' ist die wahre Änderung des Teilchens in der Zeit
dt ist die Änderung des Teilchens in der Zeit
dr' ist die wahre zurückgelegte Entfernung
dr ist die Änderung des Teilchens in der Entfernung
v ist die Geschwindigkeit des Teilchens
c ist die Lichtgeschwindigkeit
Hinweis: Das wahre Zeitintervall und die wahre Entfernung, die das Teilchen zurücklegt, unterscheiden sich von der Zeit und der Entfernung, die in den Berechnungen der klassischen Physik berechnet wurden, da es sich in einem so starken Gravitationsfeld bewegt!
Verwendung der Gleichung für die flache Raumzeit in sphärischen Koordinaten:
( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(4)
ds ist die Bahn des Teilchens
θ {\displaystyle \theta } 
ist der Blickwinkel
d θ {\displaystyle \theta } und d ϕ {\displaystyle \phi } 
sind die Veränderung der Winkel
Eingabe der Gleichungen für Fluchtgeschwindigkeit, Zeitdilatation und Längenkontraktion (Gleichungen 1, 2 und 3) in die Gleichung für die flache Raumzeit (Gleichung 4), um die Schwarzschild-Metrik zu erhalten:
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}}}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi ^{2}}} 
(5)
Aus dieser Gleichung können wir den Schwarzschild-Radius ( r s {\darstellungsstil r_{s}}
), den Radius dieses Schwarzen Lochs, herausnehmen. Obwohl dies am häufigsten zur Beschreibung eines Schwarzen Lochs verwendet wird, kann der Schwarzschild-Radius für jedes schwere Objekt berechnet werden.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\darstellungsstil (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}}}}}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} 
(6)
r s {\Anzeigestil r_{s}} ist die eingestellte Radiusgrenze des Objekts
Fragen und Antworten
F: Was ist die Schwarzschild-Metrik?
A: Die Schwarzschild-Metrik ist eine Gleichung aus der allgemeinen Relativitätstheorie im Bereich der Astrophysik, die beschreibt, wie sich ein Teilchen durch den Raum in der Nähe eines Schwarzen Lochs bewegt. Sie wurde 1916 von Karl Schwarzschild als Lösung für die Einsteinschen Feldgleichungen berechnet.
F: Worauf bezieht sich eine Metrik?
A: Eine Metrik bezieht sich auf eine Gleichung, die die Raumzeit beschreibt; insbesondere beschreibt eine Schwarzschild-Metrik das Gravitationsfeld um ein Schwarzschild-Schwarzes Loch.
F: Was sind einige Merkmale des Schwarzschild-Schwarzlochs?
A: Das Schwarzschild-Schwarze Loch ist nicht rotierend, kugelförmig und hat kein Magnetfeld. Außerdem ist seine kosmologische Konstante gleich Null.
F: Wie können wir das Gravitationsfeld um ein Schwarzschild-Schwarzes Loch beschreiben?
A: Wir können es mit der metrischen Gleichung von Schwartzchild beschreiben, die beschreibt, wie sich Teilchen in der Nähe dieser Art von schwarzem Loch durch den Raum bewegen.
F: Wer hat diese Gleichung zuerst berechnet?
A: Karl Schwartzchild berechnete diese Gleichung erstmals 1916 als Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen.
F: Was bedeutet (ds)^2 in dieser Gleichung?
A: (ds)^2 steht für den Abstand zwischen zwei Punkten in der Raumzeit, gemessen in Bezug auf Zeit- und Raumkoordinaten.
