Gravitationszeitdilatation: Definition, Unterschiede zur Spezialrelativität & GPS
Gravitationszeitdilatation erklärt: Unterschiede zur Spezialrelativität, Auswirkungen auf GPS‑Satelliten und Uhren in verschiedenen Umlaufbahnen kurz & anschaulich erläutert.
Die Gravitationszeitdilatation ist ein grundlegendes physikalisches Konzept über Veränderungen im Lauf der Zeit, die durch die Allgemeine Relativitätstheorie beschrieben werden. Kurz gesagt: Uhren in einem stärkeren Gravitationsfeld (also näher an einer großen Masse) laufen langsamer als Uhren weiter außen. Deshalb bewegt sich eine Uhr in der Nähe der Erde langsamer als eine Uhr weit draußen im Weltraum. Schwere Körper wie Planeten krümmen die Raumzeit und beeinflussen dadurch lokale Zeitraten: Je tiefer das Gravitationspotential, desto langsamer der Lauf der Zeit.
Wie unterscheidet sich das von der speziellen Zeitdilatation?
Die durch die Spezielle Relativitätstheorie erklärte Zeitdilatation ist ein kinematischer Effekt: Bewegte Uhren laufen relativ zu einem ruhenden Beobachter langsamer, wobei der Faktor durch die Lorentz-Faktor γ = 1 / sqrt(1 − v²/c²) bestimmt wird. Bei nicht-relativistischen Geschwindigkeiten kann man das näherungsweise schreiben als eine Verzögerung von ungefähr v²/(2c²).
Die gravitative Zeitdilatation in der Allgemeinen Relativitätstheorie hängt dagegen auf erste Näherung vom Gravitationspotential Φ ab. Für schwache Felder gilt näherungsweise:
- Gravitative Zeitdilatation: tau ≈ t · (1 + Φ/c²) ≈ t · (1 − GM/(rc²)) (für r groß gegenüber dem Schwarzschildradius)
- Kinematische Zeitdilatation (SRT): tau ≈ t · sqrt(1 − v²/c²) ≈ t · (1 − v²/(2c²))
Wichtig: Die gravitative Zeitdilatation ist eine Folge unterschiedlicher Potentiale — zwei Beobachter, die stillstehen, aber sich auf verschiedenen Potentialflächen befinden (z. B. Boden und Satellit), messen unterschiedliche Zeitraten. Die kinematische Zeitdilatation hängt dagegen vom Relativgeschwindigkeitsbetrag zwischen Beobachtern ab.
Beispiele im Erdorbit: ISS, geostationäre und GPS-Satelliten
Satelliten in verschiedenen Umlaufbahnen zeigen gut, wie beide Effekte zusammenspielen. Die Internationale Raumstation (ISS) bewegt sich sehr schnell in einer niedrigen Erdumlaufbahn (LEO), wodurch die Zeit durch die Spezielle Relativitätstheorie merklich langsamer läuft. Da die ISS aber nur relativ wenig Abstand zur Erde hat, ist der gravitative Einfluss (zeitlich beschleunigend beim Entfernen von der Masse) kleiner als der verlangsamen-de kinematische Effekt, sodass eine Uhr auf der ISS insgesamt etwas langsamer läuft als eine Uhr auf der Erde.
Ein Objekt in einer geostationären Umlaufbahn bewegt sich langsamer und ist weiter von der Erde entfernt. Dadurch ist die gravitative Zeitdilatation (die Uhren weiter draußen schneller laufen lässt) stärker als die kinematische Verlangsamung — Uhren in geostationärer Bahn laufen daher insgesamt schneller als Uhren in LEO.
Bedeutung für GPS
Das praktische und gut dokumentierte Beispiel ist das Global Positioning System (GPS). GPS-Satelliten befinden sich in einer mittleren Erdumlaufbahn (~20.200 km Höhe). Für sie wirken beide Effekte:
- Gravitative Zeitdilatation: Uhren in größerer Höhe laufen schneller als Uhren auf der Erdoberfläche (etwa +38 μs/Tag für typische GPS-Höhen).
- Kinematische Zeitdilatation: Wegen ihrer Orbitalgeschwindigkeit laufen die Satellitenuhren langsamer (etwa −7 μs/Tag).
Das ergibt einen Nettoeffekt von ungefähr +45 Mikrosekunden pro Tag, das heißt Satellitenuhren laufen schneller als Bodenuhren. Wenn diese Effekte nicht berücksichtigt würden, würden sich Positionsfehler von mehreren Kilometern pro Tag ansammeln (auf die Größenordnung von ~10–15 km/Tag). Deshalb werden GPS-Uhren vor dem Start so voreingestellt und/oder die Uhren- und Bahnmodelle der Empfänger so korrigiert, dass beide relativistischen Effekte kompensiert werden. Zusätzlich müssen periodische relativistische Effekte wegen Exzentrizität der Bahnen in Echtzeit in die Positionsberechnung einfließen.
Messungen und experimentelle Bestätigungen
Gravitative Zeitdilatation ist experimentell vielfach bestätigt worden: Beispiele sind
- Das Pound–Rebka-Experiment (1959), das die gravitative Rotverschiebung von Photonen über hunderte Meter auf der Erdoberfläche nachwies.
- Die Hafele–Keating-Experimente (1971), bei denen Atomuhren um die Erde geflogen wurden und die Kombination aus kinematischen und gravitativen Effekten nachgewiesen wurde.
- Missionen wie Gravity Probe A (1976) bestätigten die Rotverschiebung im Höhenbereich durch hochfliegende Atomuhren.
Wesentliche Punkte zusammengefasst
- Gravitative Zeitdilatation stammt aus der Krümmung der Raumzeit durch Masse: Stärkeres Gravitationspotential → langsamerer Zeitlauf.
- Kinematische (spezielle) Zeitdilatation hängt von Relativgeschwindigkeit ab: höhere Geschwindigkeit → langsamerer Zeitlauf gegenüber einem ruhenden Beobachter.
- In vielen praktischen Systemen (z. B. GPS) müssen beide Effekte berücksichtigt werden, sonst entstehen erhebliche Messfehler.
- Dieser Effekt ist nicht auf das Funktionieren der Uhren zurückzuführen, sondern auf die Natur der Raumzeit.
Zwei gute Uhren werden im Weltraum und auf der Erde unterschiedliche Zeiten anzeigen.
Beweise
Experimente unterstützen beide Aspekte der Zeitdilatation.
Zeitdilatation aufgrund der Relativgeschwindigkeit
Die Formel zur Bestimmung der Zeitdilatation in der Speziellen Relativitätstheorie lautet
Δ t ′ = Δ t 1 - v 2 / c 2 {\Darstellungsstil \Delta t'={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\,} 
wo
Δ t {\Anzeigestil \Delta t\,} 
ist das Zeitintervall für einen Beobachter (z.B. Ticks auf seiner Uhr) - dies wird als Eigenzeit bezeichnet,
Δ t ′ {\Anzeigestil \Delta t'\,} 
ist das Zeitintervall für die Person, die sich mit der Geschwindigkeit v in Bezug auf den Beobachter bewegt,
v {\displaystyle v\,} 
ist die relative Geschwindigkeit zwischen dem Beobachter und der sich bewegenden Uhr,
c {\Anzeigestil c\,} 
ist die Lichtgeschwindigkeit.
Es könnte auch geschrieben werden als:
Δ t ′ = γ Δ t {\Darstellungsstil \Delta t'=\gamma \Delta t\,} 
wo
γ = 1 1 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\,}
ist der Lorentz-Faktor.
Eine einfache Zusammenfassung ist, dass auf der ruhenden Uhr mehr Zeit gemessen wird als auf der bewegten Uhr, weshalb die bewegte Uhr "langsam läuft".
Wenn sich beide Uhren relativ zueinander nicht bewegen, sind die beiden gemessenen Zeiten gleich. Dies kann mathematisch nachgewiesen werden durch
Δ t ′ = Δ t 1 - 0 / c 2 = Δ t {\Anzeigestil \Delta t'={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-0/c^{2}}}}={\Delta t}\,} 
Zum Beispiel: In einem Raumschiff, das sich mit 99% der Lichtgeschwindigkeit bewegt, vergeht ein Jahr. Wie viel Zeit wird auf der Erde vergehen?
v = 0,99 c {\Anzeigestil v=0,99c\,} 
Δ t = 1 {\Anzeigestil \Delta t=1\,} 
Jahr
Δ t ′ = ? {\Anzeigestil \Delta t'=?\,} 
Ersetzen in : Δ t ′ = Δ t 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle \Delta t'={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\,}
Δ t ′ = 1 1 - ( .99 c ) 2 / c 2 = 1 1 - ( . 99 ) 2 ( c ) 2 c 2 = 1 1 - ( .99 ) 2 {\displaystyle \Delta t'={\frac {1}{\sqrt {1-(.99c)^{2}/c^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {(.99)^{2}(c)^{2}}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-(.99)^{2}}}}} 
= 1 1 - 0,9801 = 1 0,0199 = 7,08881205 {\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {1-0,9801}}}}}={\frac {1}{\sqrt {0,0199}}}}=7,08881205} 
Jahre
So werden auf der Erde etwa 7,09 Jahre vergehen, für jedes Jahr im Raumschiff.
Im heutigen Alltagsleben war die Zeitdilatation kein Faktor, wo sich Menschen mit Geschwindigkeiten bewegen, die weit unter der Lichtgeschwindigkeit liegen, sind die Geschwindigkeiten nicht groß genug, um erkennbare Zeitdilatationseffekte zu erzeugen. Solche verschwindend kleinen Effekte können sicher ignoriert werden. Erst wenn sich ein Objekt Geschwindigkeiten in der Größenordnung von 30.000 Kilometern pro Sekunde (67.000.000 mph) (10% der Lichtgeschwindigkeit) nähert, wird die Zeitdilatation wichtig.
Es gibt jedoch praktische Anwendungen der Zeitdilatation. Ein großes Beispiel ist die Genauigkeit der Uhren von GPS-Satelliten. Ohne Berücksichtigung der Zeitdilatation wäre das GPS-Ergebnis nutzlos, weil die Zeit auf Satelliten, die so weit von der Schwerkraft der Erde entfernt sind, schneller läuft. GPS-Geräte würden aufgrund des Zeitunterschieds die falsche Position berechnen, wenn die Raumuhren auf der Erde nicht so eingestellt wären, dass sie langsamer laufen, um die schnellere Zeit in einer hohen Erdumlaufbahn (geostationäre Umlaufbahn) auszugleichen.
Fragen und Antworten
F: Was ist die gravitative Zeitdilatation?
A: Die gravitative Zeitdilatation ist ein physikalisches Konzept über Veränderungen im Zeitablauf, das durch die allgemeine Relativitätstheorie verursacht wird. Sie tritt auf, wenn schwere Objekte wie Planeten ein Gravitationsfeld erzeugen, das die Zeit in der Nähe verlangsamt.
F: Wie unterscheidet sie sich von der speziellen Relativitätstheorie?
A: Die spezielle Relativitätstheorie besagt, dass sich schnelle Objekte langsamer durch die Zeit bewegen, während die gravitative Zeitdilatation besagt, dass Uhren in der Nähe eines starken Gravitationsfeldes langsamer gehen als Uhren in einem schwächeren Gravitationsfeld.
F: Was geschieht mit den Uhren auf der Internationalen Raumstation (ISS)?
A: Da sich die ISS in einer niedrigen Erdumlaufbahn (LEO) befindet, verlangsamt ihre Geschwindigkeit die Uhr mehr, als dass sie sich aufgrund der Schwerkraft beschleunigt. Das bedeutet, dass eine Uhr auf der Station mehr verlangsamt als beschleunigt wird.
F: Wie wirkt sich die geostationäre Umlaufbahn auf die Uhren aus?
A: Ein Objekt in einer geostationären Umlaufbahn bewegt sich weniger schnell und ist weiter von der Erde entfernt, so dass die gravitative Zeitdilatation stärker ist und die Uhren schneller gehen als im LEO.
F: Was müssen Ingenieure beachten, wenn sie verschiedene Uhren für verschiedene Umlaufbahnen auswählen?
A: Ingenieure müssen verschiedene Uhren für verschiedene Umlaufbahnen auswählen, je nachdem, wie stark sie durch die Schwerkraft oder die Geschwindigkeit aufgrund ihrer Position und Entfernung von der Erdoberfläche beeinflusst werden.
F: Wie funktionieren GPS-Satelliten in Bezug auf beide Arten der Zeitdilatation?
A: GPS-Satelliten funktionieren, weil sie beide Arten der Zeitdilatation kennen - die spezielle Relativitätstheorie und die allgemeine Relativitätstheorie -, was es ihnen ermöglicht, Entfernungen zwischen Orten auf der Erdoberfläche trotz Unterschieden in der Schwerkraft oder Geschwindigkeit aufgrund ihrer Positionen und Entfernungen von der Erdoberfläche genau zu messen.
Suche in der Enzyklopädie