Spezielle Relativitätstheorie

Die Spezielle Relativitätstheorie (oder die Spezielle Relativitätstheorie) ist eine physikalische Theorie, die 1905 von Albert Einstein entwickelt und erklärt wurde. Sie gilt für alle physikalischen Phänomene, solange die Gravitation nicht von Bedeutung ist. Die Spezielle Relativitätstheorie gilt für den Minkowski-Raum oder die "flache Raumzeit" (Phänomene, die nicht durch Gravitation beeinflusst werden).

Einstein wusste, dass in der älteren Physik einige Schwächen entdeckt worden waren. Zum Beispiel glaubte man in der älteren Physik, dass sich das Licht im leuchtenden Äther bewegt. Wenn diese Theorie zuträfe, wären verschiedene winzige Effekte zu erwarten gewesen. Nach und nach schien es, dass diese Vorhersagen nicht funktionieren würden.

Schließlich kam Einstein (1905) zu dem Schluss, dass die Konzepte von Raum und Zeit einer grundlegenden Überarbeitung bedurften. Das Ergebnis war die Spezielle Relativitätstheorie, die ein neues Prinzip "die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit" und das zuvor aufgestellte "Relativitätsprinzip" zusammenführte.

Schon Galilei hatte das Relativitätsprinzip aufgestellt, das besagt, dass physikalische Ereignisse für alle Beobachter gleich aussehen müssen und kein Beobachter die "richtige" Art und Weise hat, die von der Physik untersuchten Dinge zu betrachten. Zum Beispiel bewegt sich die Erde sehr schnell um die Sonne, aber wir bemerken es nicht, weil wir uns mit der Erde mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen; daher befindet sich die Erde aus unserer Sicht in Ruhe. Die Mathematik von Galileo konnte jedoch einige Dinge nicht erklären, wie etwa die Lichtgeschwindigkeit. Seiner Meinung nach sollte die gemessene Lichtgeschwindigkeit für verschiedene Geschwindigkeiten des Beobachters im Vergleich zu seiner Quelle unterschiedlich sein. Das Michelson-Morley-Experiment hat jedoch gezeigt, dass dies nicht stimmt, zumindest nicht für alle Fälle. Dies wurde unter anderem mit Einsteins Spezieller Relativitätstheorie erklärt.

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Grundlagen der Speziellen Relativitätstheorie

Angenommen, Sie bewegen sich auf etwas zu, das sich auf Sie zubewegt. Wenn Sie seine Geschwindigkeit messen, scheint es sich schneller zu bewegen, als wenn Sie sich nicht bewegen würden. Nehmen wir nun an, Sie bewegen sich von etwas weg, das sich auf Sie zubewegt, und es scheint sich schneller zu bewegen, als wenn Sie sich nicht bewegen würden. Wenn Sie seine Geschwindigkeit erneut messen, scheint es sich langsamer zu bewegen. Das ist die Idee der "relativen Geschwindigkeit" - die Geschwindigkeit des Objekts relativ zu Ihnen.

Vor Albert Einstein versuchten Wissenschaftler, die "relative Geschwindigkeit" des Lichts zu messen. Sie taten dies, indem sie die Geschwindigkeit des Sternenlichts maßen, das die Erde erreichte. Sie erwarteten, dass, wenn sich die Erde auf einen Stern zubewegt, das Licht von diesem Stern schneller erscheinen sollte, als wenn sich die Erde von diesem Stern wegbewegt. Sie stellten jedoch fest, dass unabhängig davon, wer die Experimente durchführte, wo die Experimente durchgeführt wurden oder welches Sternenlicht verwendet wurde, die gemessene Lichtgeschwindigkeit im Vakuum immer die gleiche war.

Einstein sagte, dies geschehe, weil es etwas Unerwartetes in Bezug auf Länge und Dauer gebe, oder wie lange etwas andauert. Er dachte, wenn sich die Erde durch den Weltraum bewegt, ändern sich alle messbaren Dauern sehr leicht. Jede Uhr, mit der eine Dauer gemessen wird, wird um genau den richtigen Betrag falsch sein, so dass die Lichtgeschwindigkeit gleich bleibt. Wenn wir uns eine "Lichtuhr" vorstellen, können wir diese bemerkenswerte Tatsache für den Fall einer einzelnen Lichtwelle besser verstehen.

Außerdem sagte Einstein, dass sich bei der Bewegung der Erde durch den Weltraum alle messbaren Längen (nur geringfügig) ändern. Jedes Gerät, das die Länge misst, gibt eine Länge um genau den richtigen Betrag ab, so dass die Lichtgeschwindigkeit gleich bleibt.

Am schwierigsten zu verstehen ist, dass Ereignisse, die in einem Rahmen gleichzeitig zu sein scheinen, in einem anderen Rahmen möglicherweise nicht gleichzeitig sind. Dies hat viele Auswirkungen, die nicht leicht wahrzunehmen oder zu verstehen sind. Da die Länge eines Objekts der Abstand von Kopf bis Schwanz in einem gleichzeitigen Moment ist, folgt daraus, dass, wenn zwei Beobachter sich nicht darüber einig sind, welche Ereignisse gleichzeitig stattfinden, dies ihre Messungen der Länge von Objekten (manchmal dramatisch) beeinflusst. Wenn außerdem eine Reihe von Uhren mit einem stationären Beobachter synchronisiert erscheint und nach der Beschleunigung auf eine bestimmte Geschwindigkeit mit demselben Beobachter nicht synchron zu sein scheint, dann folgt daraus, dass die Uhren während der Beschleunigung mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten liefen. Einige können sogar rückwärts laufen. Diese Argumentationslinie führt zur Allgemeinen Relativitätstheorie.

Andere Wissenschaftler vor Einstein hatten darüber geschrieben, dass Licht scheinbar immer die gleiche Geschwindigkeit hat, egal wie es beobachtet wurde. Was Einsteins Theorie so revolutionär gemacht hat, ist, dass sie die Messung der Lichtgeschwindigkeit per Definition als konstant betrachtet, mit anderen Worten, sie ist ein Naturgesetz. Dies hat die bemerkenswerte Konsequenz, dass sich geschwindigkeitsbezogene Messungen, Länge und Dauer, ändern, um dem Rechnung zu tragen.

Die Lorentz-Transformationen

Die mathematischen Grundlagen der Speziellen Relativitätstheorie sind die Lorentz-Transformationen, die die Ansichten von Raum und Zeit für zwei Beobachter, die sich relativ zueinander bewegen, aber keine Beschleunigung erfahren, mathematisch beschreiben.

Zur Definition der Transformationen verwenden wir ein kartesisches Koordinatensystem, um Zeit und Raum von "Ereignissen" mathematisch zu beschreiben.

Jeder Beobachter kann ein Ereignis als die Position von etwas im Raum zu einer bestimmten Zeit beschreiben, indem er Koordinaten (x,y,z,t) verwendet.

Der Ort des Ereignisses wird in den ersten drei Koordinaten (x,y,z) in Bezug auf ein beliebiges Zentrum (0,0,0) definiert, so dass (3,3,3) eine Diagonale von 3 Entfernungseinheiten (wie Meter oder Meilen) in jede Richtung ist.

Der Zeitpunkt des Ereignisses wird mit der vierten Koordinate t in Bezug auf einen willkürlichen (0) Zeitpunkt in einer Zeiteinheit (wie Sekunden oder Stunden oder Jahre) beschrieben.

Nehmen wir an, es gäbe einen Beobachter K, der beschreibt, wann Ereignisse mit einer Zeitkoordinate t auftreten, und der beschreibt, wo Ereignisse auftreten, mit den Raumkoordinaten x, y und z. Damit ist mathematisch der erste Beobachter definiert, dessen "Standpunkt" unsere erste Referenz sein wird.

Lassen Sie uns präzisieren, dass die Zeit eines Ereignisses gegeben ist: durch die Zeit, zu der es beobachtet t(beobachtet) wird (z.B. heute um 12 Uhr) abzüglich der Zeit, die die Beobachtung gebraucht hat, bis sie den Beobachter erreicht hat.

Diese lässt sich berechnen als die Entfernung vom Beobachter zum Ereignis d(beobachtet) (sagen wir, das Ereignis befindet sich auf einem Stern, der 1 Lichtjahr entfernt ist, so dass das Licht 1 Jahr braucht, um den Beobachter zu erreichen) geteilt durch c, die Lichtgeschwindigkeit (mehrere Millionen Meilen pro Stunde), die wir als für alle Beobachter gleich definieren.

Dies ist korrekt, denn die Entfernung geteilt durch die Geschwindigkeit ergibt die Zeit, die benötigt wird, um diese Entfernung mit dieser Geschwindigkeit zurückzulegen (z.B. 30 Meilen geteilt durch 10 mph: geben Sie uns 3 Stunden, denn wenn Sie 3 Stunden lang mit 10 mph fahren, erreichen Sie 30 Meilen). Das haben wir also:

t = d / c {\Anzeigeart t=d/c} {\displaystyle t=d/c}

Damit wird mathematisch definiert, was jede "Zeit" für jeden Beobachter bedeutet.

Nun, da diese Definitionen vorliegen, sollte es einen weiteren Beobachter K' geben, der

  • die sich entlang der x-Achse von K mit einer Geschwindigkeit von v bewegen,
  • hat ein räumliches Koordinatensystem von x' , y' und z' ,

wobei die x'-Achse mit der x-Achse und mit den y'- und z'-Achsen zusammenfällt - "immer parallel" zu den y- und z-Achsen ist.

Dies bedeutet, dass, wenn K' einen Ort wie (3,1,2) ergibt, das x (das in diesem Beispiel 3 ist) derselbe Ort ist, von dem K, der erste Beobachter, sprechen würde, aber die 1 auf der y-Achse oder die 2 auf der z-Achse nur parallel zu irgendeinem Ort im Koordinatensystem des Beobachters von K' sind, und

  • wobei K und K' bei t = t' = 0 zusammenfallen

Dies bedeutet, dass die Koordinate (0,0,0,0,0) für beide Beobachter das gleiche Ereignis ist.

Mit anderen Worten, beide Beobachter haben (mindestens) eine Zeit und einen Ort, über die sie sich beide einig sind, nämlich Ort und Zeit Null.

Die Lorentz-Transformationen sind dann

t ′ = ( t - v x / c 2 ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} {\displaystyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

x ′ = ( x - v t ) / 1 - v 2 / c 2 {\darstellungsstil x'=(x-vt)/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} {\displaystyle x'=(x-vt)/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

y ′ = y {\darstellungsstil y'=y} {\displaystyle y'=y}und

z ′ = z {\Darstellungsstil z'=z}{\displaystyle z'=z} .

Definieren Sie ein Ereignis mit Raumzeitkoordinaten (t,x,y,z) im System S und (t′,x′,y′,z′) in einem Bezugsrahmen, der sich mit einer Geschwindigkeit v in Bezug auf diesen Rahmen bewegt, S′. Dann spezifiziert die Lorentz-Transformation, dass diese Koordinaten auf folgende Weise miteinander in Beziehung stehen: ist der Lorentz-Faktor und c ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, und die Geschwindigkeit v von S′ ist parallel zur x-Achse. Der Einfachheit halber sind die y- und z-Koordinaten unbeeinflusst; nur die x- und t-Koordinaten werden transformiert. Diese Lorentz-Transformationen bilden eine Ein-Parameter-Gruppe von linearen Abbildungen, wobei dieser Parameter als Geschwindigkeit bezeichnet wird.

Die Lösung der obigen vier Transformationsgleichungen für die ungrundierten Koordinaten ergibt die inverse Lorentz-Transformation:

t = γ ( t ′ + v x ′ / c 2 ) x = γ ( x ′ + v t ′ ) y = y ′ z = z ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}}

Wenn diese inverse Lorentz-Transformation so durchgeführt wird, dass sie mit der Lorentz-Transformation vom grundierten zum ungrundierten System zusammenfällt, wird das ungrundierte Bild mit der Geschwindigkeit v′ = -v, gemessen im grundierten Bild, bewegt.

An der x-Achse ist nichts Besonderes. Die Transformation kann sich auf die y- oder z-Achse beziehen, oder auch in jede beliebige Richtung, was durch Richtungen parallel zur Bewegung (die durch den γ Faktor verzerrt werden) und senkrecht dazu erfolgen kann; siehe den Artikel Lorentz-Transformation für Details.

Eine unter Lorentz-Transformationen invariante Größe ist als Lorentz-Skalar bekannt.

Schreiben der Lorentz-Transformation und ihrer Umkehrung in Bezug auf Koordinatendifferenzen, wobei ein Ereignis die Koordinaten (x1, t1) und (x′1, t′1) hat, ein anderes Ereignis die Koordinaten (x2, t2) und (x′2, t′2), und die Differenzen definiert sind als

Gl. 1: Δ x ′ = x 2 ′ - x 1 ′ , Δ t ′ = t 2 ′ - t 1 ′ . {\Darstellungsstil \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\ ,\ \ \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ . } {\displaystyle \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\ ,\ \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ .}

Gl. 2: Δ x = x 2 - x 1 , Δ t = t 2 - t 1 . {\Anzeigestil \Delta x=x_{2}-x_{1}\ ,\ \ \ \Delta t=t_{2}-t_{1}\ . } {\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}\ ,\ \ \Delta t=t_{2}-t_{1}\ .}

wir erhalten

Gl. 3: Δ x ′ = γ ( Δ x - v Δ t ) , {\Darstellungsstil \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t)\ , \ \ \ } {\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t)\ ,\ \ }Δ t ′ = γ ( Δ t - v Δ x / c 2 ) . {\Darstellungsstil \Delta t'=\gamma \ \links ( \Delta t-v\ \Delta x/c^{2}\rechts)\ . } {\displaystyle \Delta t'=\gamma \ \left(\Delta t-v\ \Delta x/c^{2}\right)\ .}

Gl. 4: Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) , {\Darstellungsstil \Delta x=\gamma \ (\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\ } {\displaystyle \Delta x=\gamma \ (\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\ }Δ t = γ ( Δ t ′ + v Δ x ′ / c 2 ) . {\Darstellungsstil \Delta t=\gamma \ \ \links (\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\rechts)\ . } {\displaystyle \Delta t=\gamma \ \left(\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\right)\ .}

Wenn wir Unterschiede nehmen, anstatt Unterschiede zu nehmen, erhalten wir

Gl. 5: d x ′ = γ ( d x - v d t ) , {\displaystyle dx'=\gamma \ (dx-v\,dt)\ ,\ \ \ }{\displaystyle dx'=\gamma \ (dx-v\,dt)\ ,\ \ } d t ′ = γ ( d t - v d x / c 2 ) . {\Anzeigestil dt'=\gamma \ \links (dt-v\ dx/c^{2}\rechts)\ . } {\displaystyle dt'=\gamma \ \left(dt-v\ dx/c^{2}\right)\ .}

Gl. 6: d x = γ ( d x ′ + v d t ′ ) , {\displaystyle dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\ ,\ }{\displaystyle dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\ ,\ } d t = γ ( d t ′ + v d x ′ / c 2 ) . {\darstellungsstil dt=\gamma \ \ links (dt'+v\ dx'/c^{2}\ rechts)\ . } {\displaystyle dt=\gamma \ \left(dt'+v\ dx'/c^{2}\right)\ .}

Experimentelle Bestätigungen

  • Das Michelson-Morley-Experiment, bei dem kein Unterschied in der Lichtgeschwindigkeit aufgrund der Bewegungsrichtung des Lichts festgestellt werden konnte.
  • Fizeau's Experiment, bei dem der Brechungsindex für Licht in bewegtem Wasser nicht kleiner als 1 gemacht werden kann. Die beobachteten Ergebnisse erklären sich durch die relativistische Regel zur Addition von Geschwindigkeiten.
  • Die Energie und der Impuls des Lichts gehorchen der Gleichung E = p c {\darstellungsstil E=pc} {\displaystyle E=pc}. (In der Newtonschen Physik wird erwartet, dass dies E = 1 2 p c {\Anzeigeart E={\Beginn{Matrix}{\frac {1}{2}}\Ende{Matrix}}pc}{\displaystyle E={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}pc} ist).
  • Der transversale Dopplereffekt, bei dem das von einem sich schnell bewegenden Objekt ausgesandte Licht aufgrund der Zeitdilatation rotverschoben wird.
  • Das Vorhandensein von Myonen, die in der oberen Atmosphäre an der Erdoberfläche entstehen. Das Problem ist, dass es viel länger als die Halbwertszeit der Myonen dauert, bis sie auf die Erdoberfläche gelangen, selbst bei annähernder Lichtgeschwindigkeit. Ihre Anwesenheit kann entweder als Folge der Zeitdilatation (aus unserer Sicht) oder der Längenkontraktion der Entfernung zur Erdoberfläche (aus der Sicht des Myons) gesehen werden.
  • Teilchenbeschleuniger können nicht ohne Berücksichtigung der relativistischen Physik gebaut werden.

Masse, Energie und Impuls

In der Speziellen Relativitätstheorie msind der Impuls p {\Darstellungsstil p} {\displaystyle p}und die Gesamtenergie E {\Darstellungsstil E}{\displaystyle E} eines Objekts in Abhängigkeit von seiner Masse m {\Darstellungsstil m}

p = m v 1 - v 2 c 2 {\darstellungsstil p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} {\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

und

E = m c 2 1 - v 2 c 2 {\darstellungsstil E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} {\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}.

Ein häufig gemachter Fehler (auch in einigen Büchern) ist es, diese Gleichung unter Verwendung einer "relativistischen Masse" (in Bewegungsrichtung) von m r = m 1 - v 2 c 2 {\darstellungsstil m_{r}={\frac {m}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}}{c^{2}}}}}}} {\displaystyle m_{r}={\frac {m}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}. Der Grund dafür, dass dies falsch ist, liegt darin, dass Licht zum Beispiel keine Masse hat, sondern Energie. Wenn wir diese Formel verwenden, hat das Photon (Lichtteilchen) eine Masse, was experimentell falsch ist.

In der Speziellen Relativitätstheorie sind Masse, Gesamtenergie und Impuls eines Objekts durch die Gleichung

E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 {\Anzeigestil E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}} {\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}.

Für ein ruhendes Objekt ist p = 0 {\Darstellungsstil p=0}{\displaystyle p=0}, so dass die obige Gleichung vereinfacht zu E = m c 2 {\Darstellungsstil E=mc^{2}} {\displaystyle E=mc^{2}}. Daher hat ein massives Objekt in Ruhe immer noch Energie. Wir nennen diese Ruheenergie und bezeichnen sie mit E 0 {\Anzeigeart E_{0}}{\displaystyle E_{0}} :

E 0 = m c 2 {\Anzeigestil E_{0}=mc^{2}} {\displaystyle E_{0}=mc^{2}}.

Geschichte

Die Notwendigkeit der Speziellen Relativitätstheorie ergab sich aus den Maxwell-Gleichungen des Elektromagnetismus, die 1865 veröffentlicht wurden. Später stellte sich heraus, dass sie elektromagnetische Wellen (wie Licht) mit einer konstanten Geschwindigkeit (d.h. Lichtgeschwindigkeit) fordern.

Damit die Gleichungen von James Clerk Maxwell sowohl mit astronomischen Beobachtungen[1] als auch mit der Newtonschen Physik[2] vereinbar sind,[2] schlug Maxwell 1877 vor, dass Licht durch einen Äther wandert, der überall im Universum ist.

1887 versuchte das berühmte Michelson-Morley-Experiment, den durch die Bewegung der Erde erzeugten "Ätherwind" zu ermitteln. 3] Die anhaltenden Nullergebnisse dieses Experiments verwirrten die Physiker und stellten die Äthertheorie in Frage.

1895 stellten Lorentz und Fitzgerald fest, dass das Nullergebnis des Michelson-Morley-Experiments dadurch erklärt werden könnte, dass der Ätherwind das Experiment in der Bewegungsrichtung des Äthers zusammenzieht. Dieser Effekt wird als Lorentz-Kontraktion bezeichnet und ist (ohne Äther) eine Folge der Speziellen Relativitätstheorie.

Im Jahr 1899 veröffentlichte Lorentz erstmals die Lorentz-Gleichungen. Dies war zwar nicht das erste Mal, dass sie veröffentlicht wurden, aber es war das erste Mal, dass sie als Erklärung für das Michelson-Morley-Nullergebnis verwendet wurden, da die Lorentz-Kontraktion eine Folge davon ist.

Im Jahr 1900 hielt Poincaré eine berühmte Rede, in der er die Möglichkeit in Betracht zog, dass zur Erklärung des Michelson-Morley-Experiments eine "neue Physik" erforderlich sei.

Im Jahre 1904 zeigte Lorentz, dass elektrische und magnetische Felder durch die Lorentz-Transformationen ineinander überführt werden können.

1905 veröffentlichte Einstein seinen Artikel zur Einführung der Speziellen Relativitätstheorie, "Zur Elektrodynamik bewegter Körper", in den Annalen der Physik. In diesem Artikel stellte er die Postulate der Relativitätstheorie vor, leitete daraus die Lorentz-Transformationen ab und zeigte (in Unkenntnis von Lorentz' Artikel von 1904) auch, wie sich die Lorentz-Transformationen auf elektrische und magnetische Felder auswirken.

Später im Jahr 1905 veröffentlichte Einstein einen weiteren Artikel, in dem er E = mc2 präsentierte.

Im Jahr 1908 unterstützte Max Planck Einsteins Theorie und nannte sie "Relativitätstheorie". Im selben Jahr hielt Hermann Minkowski eine berühmte Rede über Raum und Zeit, in der er zeigte, dass die Relativitätstheorie selbstkonsistent ist, und die Theorie weiterentwickelte. Diese Ereignisse zwangen die Physikgemeinschaft, die Relativitätstheorie ernst zu nehmen. Danach setzte sich die Relativitätstheorie mehr und mehr durch.

1912 wurden Einstein und Lorentz aufgrund ihrer bahnbrechenden Arbeiten zur Relativitätstheorie für den Nobelpreis für Physik nominiert. Leider war die Relativitätstheorie damals so umstritten und blieb so lange umstritten, dass dafür nie ein Nobelpreis vergeben wurde.

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