Die mathematischen Grundlagen der Speziellen Relativitätstheorie sind die Lorentz-Transformationen, die die Ansichten von Raum und Zeit für zwei Beobachter, die sich relativ zueinander bewegen, aber keine Beschleunigung erfahren, mathematisch beschreiben.
Zur Definition der Transformationen verwenden wir ein kartesisches Koordinatensystem, um Zeit und Raum von "Ereignissen" mathematisch zu beschreiben.
Jeder Beobachter kann ein Ereignis als die Position von etwas im Raum zu einer bestimmten Zeit beschreiben, indem er Koordinaten (x,y,z,t) verwendet.
Der Ort des Ereignisses wird in den ersten drei Koordinaten (x,y,z) in Bezug auf ein beliebiges Zentrum (0,0,0) definiert, so dass (3,3,3) eine Diagonale von 3 Entfernungseinheiten (wie Meter oder Meilen) in jede Richtung ist.
Der Zeitpunkt des Ereignisses wird mit der vierten Koordinate t in Bezug auf einen willkürlichen (0) Zeitpunkt in einer Zeiteinheit (wie Sekunden oder Stunden oder Jahre) beschrieben.
Nehmen wir an, es gäbe einen Beobachter K, der beschreibt, wann Ereignisse mit einer Zeitkoordinate t auftreten, und der beschreibt, wo Ereignisse auftreten, mit den Raumkoordinaten x, y und z. Damit ist mathematisch der erste Beobachter definiert, dessen "Standpunkt" unsere erste Referenz sein wird.
Lassen Sie uns präzisieren, dass die Zeit eines Ereignisses gegeben ist: durch die Zeit, zu der es beobachtet t(beobachtet) wird (z.B. heute um 12 Uhr) abzüglich der Zeit, die die Beobachtung gebraucht hat, bis sie den Beobachter erreicht hat.
Diese lässt sich berechnen als die Entfernung vom Beobachter zum Ereignis d(beobachtet) (sagen wir, das Ereignis befindet sich auf einem Stern, der 1 Lichtjahr entfernt ist, so dass das Licht 1 Jahr braucht, um den Beobachter zu erreichen) geteilt durch c, die Lichtgeschwindigkeit (mehrere Millionen Meilen pro Stunde), die wir als für alle Beobachter gleich definieren.
Dies ist korrekt, denn die Entfernung geteilt durch die Geschwindigkeit ergibt die Zeit, die benötigt wird, um diese Entfernung mit dieser Geschwindigkeit zurückzulegen (z.B. 30 Meilen geteilt durch 10 mph: geben Sie uns 3 Stunden, denn wenn Sie 3 Stunden lang mit 10 mph fahren, erreichen Sie 30 Meilen). Das haben wir also:
t = d / c {\Anzeigeart t=d/c} 
Damit wird mathematisch definiert, was jede "Zeit" für jeden Beobachter bedeutet.
Nun, da diese Definitionen vorliegen, sollte es einen weiteren Beobachter K' geben, der
- die sich entlang der x-Achse von K mit einer Geschwindigkeit von v bewegen,
- hat ein räumliches Koordinatensystem von x' , y' und z' ,
wobei die x'-Achse mit der x-Achse und mit den y'- und z'-Achsen zusammenfällt - "immer parallel" zu den y- und z-Achsen ist.
Dies bedeutet, dass, wenn K' einen Ort wie (3,1,2) ergibt, das x (das in diesem Beispiel 3 ist) derselbe Ort ist, von dem K, der erste Beobachter, sprechen würde, aber die 1 auf der y-Achse oder die 2 auf der z-Achse nur parallel zu irgendeinem Ort im Koordinatensystem des Beobachters von K' sind, und
- wobei K und K' bei t = t' = 0 zusammenfallen
Dies bedeutet, dass die Koordinate (0,0,0,0,0) für beide Beobachter das gleiche Ereignis ist.
Mit anderen Worten, beide Beobachter haben (mindestens) eine Zeit und einen Ort, über die sie sich beide einig sind, nämlich Ort und Zeit Null.
Die Lorentz-Transformationen sind dann
t ′ = ( t - v x / c 2 ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} 
x ′ = ( x - v t ) / 1 - v 2 / c 2 {\darstellungsstil x'=(x-vt)/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} 
y ′ = y {\darstellungsstil y'=y} 
und
z ′ = z {\Darstellungsstil z'=z}
.
Definieren Sie ein Ereignis mit Raumzeitkoordinaten (t,x,y,z) im System S und (t′,x′,y′,z′) in einem Bezugsrahmen, der sich mit einer Geschwindigkeit v in Bezug auf diesen Rahmen bewegt, S′. Dann spezifiziert die Lorentz-Transformation, dass diese Koordinaten auf folgende Weise miteinander in Beziehung stehen: ist der Lorentz-Faktor und c ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, und die Geschwindigkeit v von S′ ist parallel zur x-Achse. Der Einfachheit halber sind die y- und z-Koordinaten unbeeinflusst; nur die x- und t-Koordinaten werden transformiert. Diese Lorentz-Transformationen bilden eine Ein-Parameter-Gruppe von linearen Abbildungen, wobei dieser Parameter als Geschwindigkeit bezeichnet wird.
Die Lösung der obigen vier Transformationsgleichungen für die ungrundierten Koordinaten ergibt die inverse Lorentz-Transformation:
t = γ ( t ′ + v x ′ / c 2 ) x = γ ( x ′ + v t ′ ) y = y ′ z = z ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}} 
Wenn diese inverse Lorentz-Transformation so durchgeführt wird, dass sie mit der Lorentz-Transformation vom grundierten zum ungrundierten System zusammenfällt, wird das ungrundierte Bild mit der Geschwindigkeit v′ = -v, gemessen im grundierten Bild, bewegt.
An der x-Achse ist nichts Besonderes. Die Transformation kann sich auf die y- oder z-Achse beziehen, oder auch in jede beliebige Richtung, was durch Richtungen parallel zur Bewegung (die durch den γ Faktor verzerrt werden) und senkrecht dazu erfolgen kann; siehe den Artikel Lorentz-Transformation für Details.
Eine unter Lorentz-Transformationen invariante Größe ist als Lorentz-Skalar bekannt.
Schreiben der Lorentz-Transformation und ihrer Umkehrung in Bezug auf Koordinatendifferenzen, wobei ein Ereignis die Koordinaten (x1, t1) und (x′1, t′1) hat, ein anderes Ereignis die Koordinaten (x2, t2) und (x′2, t′2), und die Differenzen definiert sind als
Gl. 1: Δ x ′ = x 2 ′ - x 1 ′ , Δ t ′ = t 2 ′ - t 1 ′ . {\Darstellungsstil \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\ ,\ \ \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ . } 
Gl. 2: Δ x = x 2 - x 1 , Δ t = t 2 - t 1 . {\Anzeigestil \Delta x=x_{2}-x_{1}\ ,\ \ \ \Delta t=t_{2}-t_{1}\ . } 
wir erhalten
Gl. 3: Δ x ′ = γ ( Δ x - v Δ t ) , {\Darstellungsstil \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t)\ , \ \ \ } 
Δ t ′ = γ ( Δ t - v Δ x / c 2 ) . {\Darstellungsstil \Delta t'=\gamma \ \links ( \Delta t-v\ \Delta x/c^{2}\rechts)\ . } 
Gl. 4: Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) , {\Darstellungsstil \Delta x=\gamma \ (\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\ } 
Δ t = γ ( Δ t ′ + v Δ x ′ / c 2 ) . {\Darstellungsstil \Delta t=\gamma \ \ \links (\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\rechts)\ . } 
Wenn wir Unterschiede nehmen, anstatt Unterschiede zu nehmen, erhalten wir
Gl. 5: d x ′ = γ ( d x - v d t ) , {\displaystyle dx'=\gamma \ (dx-v\,dt)\ ,\ \ \ }
d t ′ = γ ( d t - v d x / c 2 ) . {\Anzeigestil dt'=\gamma \ \links (dt-v\ dx/c^{2}\rechts)\ . } 
Gl. 6: d x = γ ( d x ′ + v d t ′ ) , {\displaystyle dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\ ,\ }
d t = γ ( d t ′ + v d x ′ / c 2 ) . {\darstellungsstil dt=\gamma \ \ links (dt'+v\ dx'/c^{2}\ rechts)\ . } 
