Ladungsdichte und das elektrische Feld
∇ ⋅ D = ρ {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho } 
,
wobei ρ {\displaystyle {\rho }} die freie elektrische Ladungsdichte (in Einheiten von C/m3) 
ist, wobei die in einem Material gebundenen Dipol-Ladungen nicht mitgezählt werden, und D {\displaystyle \mathbf {D} } 
ist das elektrische Verschiebungsfeld (in Einheiten von C/m2). Diese Gleichung entspricht dem Coulomb'schen Gesetz für unbewegte Ladungen im Vakuum.
Die nächste integrale Form (nach dem Divergenztheorem), auch als Gauß'sches Gesetz bekannt, sagt dasselbe:
∮ A D ⋅ d A = Q eingeschlossen {\Anzeigestil \Punkt _{A}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =Q_{\text{eingeschlossen}}} 
d A d\mathbf im Anzeigestil d\mathbf {A} } 
ist die Fläche eines Differentialquadrates auf der geschlossenen Fläche A. Die nach außen weisende Flächennormale ist die Richtung, und Q eingeschlossen {\Darstellungsstil Q_{\Text{eingeschlossen}}}
ist die freie Ladung, die sich innerhalb der Fläche befindet.
In einem linearen Material, D {\displaystyle \mathbf {D} } steht in direktem Zusammenhang mit dem elektrischen Feld E {\darstellungsstil \mathbf {E} } 
mit einer Konstanten namens Permittivität, ε {\displaystyle \varepsilon } 
(Diese Konstante ist für verschiedene Materialien unterschiedlich):
D = ε E {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} } 
.
Sie können so tun, als sei ein Material linear, wenn das elektrische Feld nicht sehr stark ist.
Die Permittivität des freien Raums wird ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}}} genannt. 
und wird in dieser Gleichung verwendet:
∇ ⋅ E = ρ t ε 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{t}}{\varepsilon _{0}}}} 
Hier E {\darstellungsstil \mathbf {E} } ist wiederum das elektrische Feld (in Einheiten von V/m), ρ t {\displaystyle \rho _{t}}
ist die Gesamtladungsdichte (einschließlich der gebundenen Ladungen), und ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} (ungefähr 8.854 pF/m) ist die Permittivität des freien Raums. Man kann auch ε {\displaystyle \varepsilon } als ε 0 ⋅ ε r {\displaystyle \varepsilon _{0}\cdot \varepsilon _{r}} schreiben. 
. Hier ist ε r {\displaystyle \varepsilon _{r}}
die Permittivität des Materials im Vergleich zur Permittivität des freien Raums. Dies wird als relative Dielektrizitätskonstante oder Dielektrizitätskonstante bezeichnet.
Siehe auch die Poisson-Gleichung.
Die Struktur des Magnetfeldes
∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0} 
B {\Anzeigestil \mathbf {B} } 
ist die magnetische Flussdichte (in Einheiten von Tesla, T), auch magnetische Induktion genannt.
Diese nächste integrale Form sagt dasselbe:
∮ A B ⋅ d A = 0 {\Anzeigestil \Punkt _{A}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0} 
Der Bereich von d A {\Anzeigestil d\mathbf {A} } ist die Fläche eines Differentialquadrates auf der Oberfläche A {\Darstellungsstil A} 
. Die Richtung von d A {\Anzeigestil d\mathbf {A}ist die Richtung von d A {\Anzeigestil d\mathbf {A} } ist die nach außen gerichtete Flächennormale auf der Oberfläche von A {\Darstellungsstil A} .
Diese Gleichung funktioniert nur, wenn das Integral über eine geschlossene Fläche durchgeführt wird. Diese Gleichung besagt, dass in jedem Volumen die Summe der eingehenden Magnetfeldlinien gleich der Summe der ausgehenden Magnetfeldlinien ist. Das bedeutet, dass die Magnetfeldlinien geschlossene Schleifen sein müssen. Eine andere Art zu sagen, dass die Feldlinien nicht von irgendwo ausgehen können. Dies ist die mathematische Art zu sagen, dass die Feldlinien nicht von irgendwo ausgehen können: "Es gibt keine magnetischen Monopole".
Ein sich ändernder magnetischer Fluss und das elektrische Feld
∇ × E = - ∂ B ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} teilweise t 
Diese nächste integrale Form sagt dasselbe:
∮ s E ⋅ d s = - d Φ B d t {\Anzeigestil \Punkt _{s}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {s} =-{\frac {d\Phi _{\mathbf {B} }}{dt}}}}} 
Hier Φ B = ∫ A B ⋅ d A {\Darstellungsstil \Phi _{\mathbf {B} }=\int _{A}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} } 
Das ist die Bedeutung der Symbole:
ΦB ist der magnetische Fluss, der durch den Bereich A geht, den die zweite Gleichung beschreibt,
E ist das elektrische Feld, das der magnetische Fluss verursacht,
s ist ein geschlossener Pfad, in dem Strom induziert wird, zum Beispiel ein Draht,
v ist die momentane Geschwindigkeit des Linienelements (für bewegte Schaltungen).
Die elektromotorische Kraft ist gleich dem Wert dieses Integrals. Manchmal wird dieses Symbol für die elektromotorische Kraft verwendet: E {\Anzeigestil {\Mathematik {\an8}} 
nicht mit dem Symbol für Permittivität verwechseln, das zuvor verwendet wurde.
Dieses Gesetz ist wie das Faradaysche Gesetz der elektromagnetischen Induktion.
Einige Lehrbücher zeigen das rechte Vorzeichen der Integralform mit einem N (N ist die Anzahl der Drahtspulen, die sich um den Rand von A befinden) vor der Flussableitung. Das N kann bei der Berechnung von A berücksichtigt werden (mehrere Drahtwindungen bedeuten mehrere Flächen, durch die der Fluss fließen kann), und es ist ein technisches Detail, weshalb es hier ausgelassen wird.
Das negative Vorzeichen wird für die Energieerhaltung benötigt. Es ist so wichtig, dass es sogar einen eigenen Namen hat, das Lenz'sche Gesetz.
Diese Gleichung zeigt, wie die elektrischen und magnetischen Felder miteinander zu tun haben. Zum Beispiel erklärt diese Gleichung, wie Elektromotoren und elektrische Generatoren funktionieren. In einem Motor oder Generator hat der Feldkreis ein festes elektrisches Feld, das ein Magnetfeld verursacht. Dies wird als feste Erregung bezeichnet. Die variierende Spannung wird über den Ankerkreis gemessen. Die Maxwell-Gleichungen werden in einem rechtshändigen Koordinatensystem verwendet. Um sie in einem linkshändigen System verwenden zu können, ohne die Gleichungen ändern zu müssen, muss die Polarität der Magnetfelder entgegengesetzt sein (das ist nicht falsch, aber verwirrend, weil es normalerweise nicht so gemacht wird).
Die Quelle des Magnetfeldes
∇ × H = J + ∂ D ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\teilweise \mathbf {D} teilweise t 
H ist die magnetische Feldstärke (in Einheiten von A/m), die Sie erhalten, indem Sie den magnetischen Fluss B durch eine Konstante namens Permeabilität, μ (B = μH), dividieren, und J ist die Stromdichte, definiert durch
J = ∫ρqvdA
v ist ein Vektorfeld, das als Driftgeschwindigkeit bezeichnet wird. Es beschreibt die Geschwindigkeiten der Ladungsträger, die eine durch die Skalarfunktion ρq beschriebene Dichte haben.
Im freien Raum ist die Permeabilität μ die Permeabilität des freien Raumes, μ0, die per Definition genau 4π×10-7 W/A-m beträgt. Die Permittivität ist auch die Permittivität des freien Raums ε0. Im freien Raum lautet die Gleichung also
∇ × B = μ 0 J + μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\teilweise \mathbf {E} teilweise t 
Die nächste integrale Form sagt dasselbe:
∮ s B ⋅ d s = μ 0 I eingekreist + μ 0 ε 0 ∫ A ∂ E ∂ t ⋅ d A {\displaystyle \point _{s}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =\mu _{0}I_{\text{\eingekreist}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}\int _{A}{\frac {\teilweise \mathbf {E} teilweise t Punkt d\mathbf {A} } 
s ist die Kante der offenen Fläche A (jede Fläche mit der Kurve s als Kante ist hier in Ordnung), und Iencircled ist der von der Kurve s umschlossene Strom (der Strom durch jede Fläche ist durch die Gleichung definiert: Idurch A = ∫AJ-dA) definiert.
Wenn sich die elektrische Flussdichte nicht sehr schnell ändert, ist der zweite Term auf der rechten Seite (der Verschiebungsfluss) sehr klein und kann weggelassen werden, und dann ist die Gleichung die gleiche wie das Ampere-Gesetz.
