Studentsche t-Verteilung
Die Student's t-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die 1908 von William Sealy Gosset entwickelt wurde. Student ist das Pseudonym, das er benutzte, als er die Arbeit veröffentlichte, die die Verteilung beschreibt. Gosset arbeitete in einer Brauerei und interessierte sich für die Probleme kleiner Proben, zum Beispiel für die chemischen Eigenschaften von Gerste. Bei den Problemen, die er analysierte, konnte die Probengröße bis zu drei betragen. Eine Version des Ursprungs des Pseudonyms besteht darin, dass Gossets Arbeitgeber es vorzog, dass die Mitarbeiter bei der Veröffentlichung wissenschaftlicher Arbeiten statt ihres wirklichen Namens lieber Pseudonyme verwenden, so dass er den Namen "Student" verwendete, um seine Identität zu verbergen. Eine andere Version ist, dass die Brauerei ihre Konkurrenten nicht wissen lassen wollte, dass sie den t-Test benutzten, um die Qualität des Rohmaterials zu testen.
Aufgrund der geringen Stichprobengröße ist eine Schätzung der Standardabweichung nicht möglich. Außerdem war in vielen Fällen, auf die Gosset stieß, die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Stichproben nicht bekannt.
Eine Normalverteilung beschreibt eine vollständige Grundgesamtheit, t-Verteilungen beschreiben Stichproben, die aus einer vollständigen Grundgesamtheit gezogen werden; dementsprechend ist die t-Verteilung für jeden Stichprobenumfang unterschiedlich, und je größer die Stichprobe, desto mehr ähnelt die Verteilung einer Normalverteilung.
Die t-Verteilung spielt eine Rolle in vielen weit verbreiteten statistischen Analysen, einschließlich des Student't-Tests zur Beurteilung der statistischen Signifikanz der Differenz zwischen zwei Stichprobenmittelwerten, der Konstruktion von Konfidenzintervallen für die Differenz zwischen zwei Populationsmittelwerten und in der linearen Regressionsanalyse. Die Student's t-Verteilung entsteht auch bei der Bayes'schen Analyse von Daten aus einer normalen Familie.
Wenn wir eine Stichprobe von n Beobachtungen aus einer Normalverteilung nehmen, dann kann die t-Verteilung mit ν = n-1 Freiheitsgraden definiert werden als die Verteilung der Lage des wahren Mittelwertes, relativ zum Stichprobenmittelwert und dividiert durch die Stichprobenstandardabweichung, nach Multiplikation mit dem Normalisierungsterm n {\displaystyle {\sqrt {n}}} 
. Auf diese Weise lässt sich anhand der t-Verteilung abschätzen, wie wahrscheinlich es ist, dass der wahre Mittelwert in einem bestimmten Bereich liegt.
Die t-Verteilung ist symmetrisch und glockenförmig, wie die Normalverteilung, hat aber schwerere Schwänze, was bedeutet, dass sie anfälliger ist, Werte zu produzieren, die weit von ihrem Mittelwert fallen. Dadurch ist sie nützlich für das Verständnis des statistischen Verhaltens bestimmter Arten von Verhältnissen zufälliger Größen, bei denen die Variation im Nenner verstärkt wird und unter Umständen ausgefallene Werte erzeugt, wenn der Nenner des Verhältnisses nahe Null fällt. Die Student'sche t-Verteilung ist ein Spezialfall der verallgemeinerten hyperbolischen Verteilung.
Fragen und Antworten
Q: Was ist die Student'sche t-Verteilung?
A: Die Student's t-Distribution ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die 1908 von William Sealy Gosset entwickelt wurde. Sie beschreibt Stichproben, die aus einer Grundgesamtheit gezogen wurden. Je größer die Stichprobe ist, desto mehr ähnelt sie einer Normalverteilung.
F: Wer hat die Student's t-Verteilung entwickelt?
A: William Sealy Gosset entwickelte die Student'sche t-Verteilung im Jahr 1908. Er verwendete das Pseudonym "Student", als er das Papier veröffentlichte, in dem er sie beschrieb.
Q: Wofür wird die Student'sche t-Verteilung verwendet?
A: Die Student's t-Verteilung spielt in vielen weit verbreiteten statistischen Analysen eine Rolle, darunter der Student's t-Test zur Bewertung der statistischen Signifikanz von Unterschieden zwischen zwei Stichprobenmittelwerten, die Erstellung von Konfidenzintervallen für Unterschiede zwischen zwei Populationsmittelwerten und die lineare Regressionsanalyse. Sie taucht auch bei der Bayes'schen Analyse von Daten aus einer normalen Familie auf.
F: Wie wirkt sich der Stichprobenumfang auf die Form einer t-Verteilung aus?
A: Je größer die Stichprobengröße, desto mehr ähnelt sie einer Normalverteilung. Für jede unterschiedliche Stichprobengröße gibt es eine eigene t-Verteilung, die sie beschreibt.
Q: Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Student's T Distribution und der Normalverteilung?
A: Ja - während Normalverteilungen vollständige Populationen beschreiben, beschreiben Student's T-Distributions Stichproben, die aus diesen Populationen gezogen wurden; als solche haben sie Ähnlichkeiten, unterscheiden sich aber je nach ihrer jeweiligen Größe. Wie bereits erwähnt, ähneln größere Stichproben eher den Normalverteilungen als kleinere Stichproben.
F: Gibt es einen anderen Namen für diese Art der Verteilung?
A: Nein - diese Art der Verteilung ist als "Student's T Distribution" bekannt, benannt nach ihrem Entwickler William Sealy Gosset, der sein Pseudonym "Student" benutzte, als er seine Arbeit über diese Verteilung veröffentlichte.
