Hyperbolische Geometrie: Definition, Modelle und Grundbegriffe

Eine interessante Eigenschaft der hyperbolischen Geometrie ergibt sich aus dem Auftreten von mehr als einer parallelen Linie durch einen Punkt P: Es gibt zwei Klassen von sich nicht schneidenden Linien. Nehmen wir an, B sei der Punkt auf l, so dass die Linie PB senkrecht zu l steht. Betrachten wir die Linie x durch P so, dass x l nicht schneidet, und der Winkel θ zwischen PB und x gegen den Uhrzeigersinn von PB aus so klein wie möglich ist; d.h. jeder kleinere Winkel zwingt die Linie, l zu schneiden. Symmetrisch wird die Linie y, die den gleichen Winkel θ zwischen PB und sich selbst, aber im Uhrzeigersinn von PB aus bildet, ebenfalls asymptotisch sein. x und y sind die einzigen beiden Linien, die asymptotisch zu l durch P verlaufen. Alle anderen Linien durch P, die l nicht schneiden, mit Winkeln größer als θ mit PB, werden ultraparallel (oder disjunkt parallel) zu l genannt. Beachten Sie, dass es eine unendliche Anzahl von möglichen Winkeln zwischen θ und 90 Grad gibt, und jede davon zwei Linien durch P bestimmt, die unzusammenhängend parallel zu l verlaufen, so dass es eine unendliche Anzahl von ultraparallelen Linien gibt.

Wir haben also diese modifizierte Form des parallelen Postulats: In der hyperbolischen Geometrie gibt es bei einer beliebigen Linie l und einem Punkt P, der nicht auf l liegt, genau zwei Linien durch P, die asymptotisch zu l sind, und unendlich viele Linien durch P, die ultraparallel zu l verlaufen.

Die Unterschiede zwischen diesen Arten von Linien können auch auf folgende Weise betrachtet werden: Der Abstand zwischen asymptotischen Linien verläuft in der einen Richtung gegen Null und wächst ohne Begrenzung in der anderen Richtung; der Abstand zwischen ultraparallelen Linien nimmt in beiden Richtungen zu. Das Ultraparallel-Theorem besagt, dass es in der hyperbolischen Ebene eine einzige Linie gibt, die senkrecht zu jedem eines gegebenen Paares von ultraparallelen Linien verläuft.

In der euklidischen Geometrie ist der Parallelitätswinkel eine Konstante, d.h. jeder Abstand ‖ B P ‖ {\displaystyle \lVert BP\rVert } zwischen parallelen Linien ergibt einen Parallelitätswinkel von 90°. In der hyperbolischen Geometrie variiert der Parallelitätswinkel mit der Funktion Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)}displaystyle \Pi (p)}. Diese Funktion, die von Nikolai Iwanowitsch Lobachevsky beschrieben wird, erzeugt für jeden Abstand p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p=\lVert BP\rVert } einen einzigartigen Parallelitätswinkel. . Mit kürzer werdendem Abstand nähert sich Π ( p ) {\Anzeigestil \Pi (p)} 90°, während mit zunehmendem Abstand Π ( p ) {\Anzeigestil \Pi (p)} sich 0° nähert. Mit kleiner werdenden Abständen verhält sich die hyperbolische Ebene also mehr und mehr wie die euklidische Geometrie. In der Tat, auf kleinen Skalen im Vergleich zu 1 - K {\displaystyle {\frac {\sqrt {-K}}}} ...wo K wie K aussieht! } die (konstante) Gaußsche Krümmung der Ebene ist, würde es einem Beobachter schwer fallen festzustellen, ob er sich in der euklidischen oder in der hyperbolischen Ebene befindet.

Eine Reihe von Geometern unternahm Versuche, das parallele Postulat zu beweisen, darunter Omar Khayyám, später auch Giovanni Gerolamo Saccheri, John Wallis, Lambert und Legendre. Ihre Versuche scheiterten, aber ihre Bemühungen brachten die hyperbolische Geometrie hervor. Die Theoreme von Alhacen, Khayyam auf Quadrilateralen, waren die ersten Theoreme über hyperbolische Geometrie. Ihre Arbeiten über die hyperbolische Geometrie hatten einen Einfluss auf deren Entwicklung bei späteren europäischen Geometern, darunter Witelo, Alfonso und John Wallis.

Jahrhundert wurde die hyperbolische Geometrie von János Bolyai und Nikolai Ivanovich Lobachevsky erforscht, nach dem sie manchmal auch benannt wird. Lobachevsky veröffentlichte sie 1830, während Bolyai sie unabhängig voneinander entdeckte und 1832 veröffentlichte. Karl Friedrich Gauß studierte ebenfalls hyperbolische Geometrie und beschrieb 1824 in einem Brief an Taurinus, dass er sie konstruiert hatte, seine Arbeit aber nicht veröffentlichte. Im Jahr 1868 stellte Eugenio Beltrami Modelle davon zur Verfügung und bewies damit, dass die hyperbolische Geometrie konsistent war, wenn es die euklidische Geometrie war.

Der Begriff "hyperbolische Geometrie" wurde 1871 von Felix Klein eingeführt. Für mehr Geschichte siehe Artikel über nicht-euklidische Geometrie.

Es gibt drei Modelle, die häufig für hyperbolische Geometrie verwendet werden: das Klein-Modell, das Poincaré-Scheibenmodell und das Lorentz-Modell oder Hyperboloid-Modell. Diese Modelle definieren einen realen hyperbolischen Raum, der die Axiome einer hyperbolischen Geometrie erfüllt. Trotz der Benennung wurden die beiden Scheibenmodelle und das Halbebenenmodell nicht von Poincaré oder Klein, sondern von Beltrami als Modelle des hyperbolischen Raums eingeführt.

1. Das Klein-Modell, auch bekannt als projektives Scheibenmodell und Beltrami-Klein-Modell, verwendet das Innere eines Kreises für die hyperbolische Ebene und die Akkorde des Kreises als Linien.
2. Das Poincaré-Halbebenenmodell nimmt die Hälfte der euklidischen Ebene, die durch eine euklidische Linie B bestimmt wird, als hyperbolische Ebene an (B selbst ist nicht enthalten).
• Hyperbolische Linien sind dann entweder orthogonal zu B verlaufende Halbkreise oder senkrecht zu B verlaufende Strahlen.
• Beide Poincaré-Modelle bewahren hyperbolische Winkel und sind damit konform. Alle Isometrien innerhalb dieser Modelle sind daher Möbius-Transformationen.
• Das Halbebenenmodell ist (an der Grenze) identisch mit dem Poincaré-Scheibenmodell am Rand der Scheibe
• Dieses Modell ist direkt auf die Spezielle Relativitätstheorie anwendbar, da der Minkowski 3-Raum ein Modell für die Raumzeit ist, das eine räumliche Dimension unterdrückt. Man kann das Hyperboloid nehmen, um die Ereignisse darzustellen, die verschiedene sich bewegende Beobachter, die von einem einzigen Punkt aus in einer Raumebene nach außen strahlen, in einer festen Eigenzeit erreichen werden. Der hyperbolische Abstand zwischen zwei Punkten auf dem Hyperboloid kann dann mit der relativen Schnelligkeit zwischen den beiden entsprechenden Beobachtern identifiziert werden.

M. C. Eschers berühmte Drucke Circle Limit III und Circle Limit IV illustrieren das konforme Scheibenmodell recht gut. In beiden kann man die Geodäsie sehen. (In III sind die weißen Linien keine Geodäten, sondern Hyperzyklen, die neben ihnen verlaufen). Man kann auch ganz deutlich die negative Krümmung der hyperbolischen Ebene durch ihre Wirkung auf die Winkelsumme in Dreiecken und Quadraten sehen.

In der euklidischen Ebene würden ihre Winkel 450° betragen, d.h. ein Kreis und ein Viertel. Daraus ersehen wir, dass die Winkelsumme eines Dreiecks in der hyperbolischen Ebene kleiner als 180° sein muss. Eine weitere sichtbare Eigenschaft ist exponentielles Wachstum. In Circle Limit IV zum Beispiel kann man sehen, dass die Anzahl der Engel und Dämonen in einem Abstand von n vom Zentrum exponentiell ansteigt. Die Dämonen haben die gleiche hyperbolische Fläche, so dass die Fläche einer Kugel mit Radius n in n exponentiell ansteigen muss.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine hyperbolische Ebene (oder deren Annäherung) physikalisch zu realisieren. Ein besonders bekanntes Papiermodell, das auf der Pseudosphäre basiert, geht auf William Thurston zurück. Die Kunst des Häkelns wurde benutzt, um hyperbolische Ebenen zu demonstrieren, wobei die erste von Daina Taimina hergestellt wurde. Im Jahr 2000 demonstrierte Keith Henderson ein schnell zu erstellendes Papiermodell mit dem Titel "hyperbolischer Soccerball".