Eigenwertproblem

Grundlagen

Wenn es eine quadratische Matrix namens A, einen Skalar λ und einen Nicht-Null-Vektor v gibt, dann ist λ der Eigenwert und v der Eigenvektor, wenn die folgende Gleichung erfüllt ist:

A v = λ v . {\darstellungsstil A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} \,. }

Mit anderen Worten, wenn die Matrix A mal der Vektor v gleich dem Skalar λ mal der Vektor v ist, dann ist λ der Eigenwert von v, wobei v der Eigenvektor ist.

Ein Eigenraum von A ist die Menge aller Eigenvektoren mit gleichem Eigenwert zusammen mit dem Nullvektor. Der Nullvektor ist jedoch kein Eigenvektor.

Diese Ideen werden oft auf allgemeinere Situationen ausgedehnt, in denen Skalare Elemente eines beliebigen Feldes sind, Vektoren Elemente eines beliebigen Vektorraumes und lineare Transformationen durch Matrixmultiplikation dargestellt werden können oder auch nicht. Beispielsweise können Skalare anstelle von reellen Zahlen komplexe Zahlen sein; anstelle von Pfeilen können Vektoren Funktionen oder Frequenzen sein; anstelle der Matrixmultiplikation können lineare Transformationen Operatoren wie die Ableitung aus der Analysis sein. Dies sind nur einige von unzähligen Beispielen, bei denen Eigenvektoren und Eigenwerte wichtig sind.

In Fällen wie diesen verliert der Begriff der Richtung seine gewöhnliche Bedeutung und wird stattdessen abstrakter definiert. Aber selbst in diesem Fall, wenn diese abstrakte Richtung durch eine gegebene lineare Transformation unverändert bleibt, wird die Vorsilbe "eigen" verwendet, wie bei Eigenfunktion, Eigenmode, Eigenfläche, Eigenzustand und Eigenfrequenz.

Eigenwerte und Eigenvektoren haben sowohl in der reinen als auch in der angewandten Mathematik viele Anwendungen. Sie werden in der Matrixfaktorisierung, in der Quantenmechanik, in Gesichtserkennungssystemen und in vielen anderen Bereichen verwendet.

Beispiel

Für die Matrix A

A = [ 2 1 1 2 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}. }

der Vektor

x = [ 3 - 3 ] {\Anzeigestil \mathbf {x} ={\Beginn{Matrix}3\\\-3\Ende{Matrix}}}

ist ein Eigenvektor mit dem Eigenwert 1. In der Tat,

A x = [ 2 1 1 1 2 ] [ 3 - 3 ] = [ ( 2 ⋅ 3 ) + ( 1 ⋅ ( - 3 ) ) ( 1 ⋅ 3 ) + ( 2 ⋅ ( - 3 ) ) ] = [ 3 - 3 ] = 1 ⋅ [ 3 - 3 ] . {\Anzeigestil A\mathbf {x} ={\Beginn{bmatrix}2&1\\\1&2\ende{bmatrix}}{\anfang{bmatrix}3\\\-3\ende{bmatrix}}={\anfang{bmatrix}(2\cPunkt 3)+(1\cPunkt (-3))\\\(1\cPunkt 3)+(2\cPunkt (-3))\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}=1\cdot {\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}. }

Auf der anderen Seite ist der Vektor

x = [ 0 1 ] {\Anzeigestil \mathbf {x} ={\Beginn{Matrix}0\\\1\Ende{Matrix}}}

kein Eigenvektor ist, da

[ 2 1 1 2 ] [ 0 1 ] = [ ( 2 ⋅ 0 ) + ( 1 ⋅ 1 ) ( 1 ⋅ 0 ) + ( 2 ⋅ 1 ) ] = [ 1 2 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\1& 2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(2\cdot 0)+(1\cdot 1)\\(1\cdot 0)+(2\cdot 1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}. }

und dieser Vektor ist kein Vielfaches des ursprünglichen Vektors x.