Analysis

Die mathematische Analyse ist ein Teil der Mathematik. Sie wird oft mit Analyse abgekürzt. Sie befasst sich mit Funktionen, Folgen und Reihen. Diese haben nützliche Eigenschaften und Merkmale, die in der Technik verwendet werden können. Bei der mathematischen Analyse geht es um stetige Funktionen, Differentialrechnung und Integration.

Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton entwickelten die meisten Grundlagen der mathematischen Analyse.

Teile der mathematischen Analyse

Begrenzungen

Ein Beispiel für die mathematische Analyse sind Grenzen. Grenzen werden benutzt, um zu sehen, was sehr nahe an den Dingen geschieht. Grenzen können auch verwendet werden, um zu sehen, was passiert, wenn die Dinge sehr groß werden. Zum Beispiel ist 1 n {\darstellungsstil {\frac {1}{n}}} ${\frac {1}{n}}$ niemals Null, aber wenn n größer wird, wird 1 n {\darstellungsstil {\frac {1}{n}}} ${\frac {1}{n}}$ nahe Null. Die Grenze von 1 n {\darstellungsstil {\frac {1}{n}}} ${\frac {1}{n}}$ , wenn n größer wird, ist Null. Gewöhnlich wird gesagt: "Die Grenze von 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}}} ${\frac {1}{n}}$ , wenn n ins Unendliche geht, ist Null". Es wird als lim n geschrieben → ∞ 1 n = 0 {\darstellungsstil \lim _{n\bis \infty }{\frac {1}{n}}=0} $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0$ .

Das Gegenstück wäre 2 × n {\Anzeigestil {2}\mal {n}} ${2}\times {n}$ . Wenn der n {\Anzeigestil {n}} ${n}$ größer wird, geht die Grenze ins Unendliche. Es wird geschrieben als lim n → ∞ 2 × n = ∞ {\Darstellungsstil \lim _{n\bis \infty }{2}\mal {n}=\infty } $\lim _{n\to \infty }{2}\times {n}=\infty$ .

Das fundamentale Theorem der Algebra lässt sich aus einigen grundlegenden Ergebnissen in komplexerAnalyse beweisen. Es besagt, dass jedes Polynom f ( x ) {\darstellungsstil f(x)} f(x) mit reellen oder komplexen Koeffizienten eine komplexe Wurzel hat. Eine Wurzel ist eine Zahl x, die eine Lösung f ( x ) = 0 {\darstellungsstil f(x)=0} $f(x)=0$ ergibt. Einige dieser Wurzeln können die gleichen sein.

Differenzialrechnung

Die Funktion f ( x ) = m x + c {\darstellungsstil f(x)={m}{x}+{c}}} $f(x)={m}{x}+{c}$ ist eine Zeile. Der m {\Darstellungsstil {m}} ${m}$ zeigt die Steigung der Funktion und der c {\Darstellungsstil {c}} ${c}$ zeigt die Position der Funktion auf der Ordinate. Mit zwei Punkten auf der Linie ist es möglich, die Steigung m {\Darstellungsstil {m}} ${m}$ mit zu berechnen:

m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 {\Anzeigestil m={\frac {y_{1}-y_{0}}}{x_{1}-x_{0}}}} $m={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$ .

Eine Funktion der Form f ( x ) = x 2 {\darstellungsstil f(x)=x^{2}} $f(x)=x^{2}$ die nicht linear ist, kann nicht wie oben berechnet werden. Es ist nur möglich, die Steigung mit Hilfe von Tangenten und Sekanten zu berechnen. Die Sekante verläuft durch zwei Punkte, und wenn sich die beiden Punkte nähern, wird sie zu einer Tangente.

Die neue Formel lautet m = f ( x 1 ) - f ( x 0 ) x 1 - x 0 {\darstellungsstil m={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}} $m={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}$ .

Dies wird als Differenzenquotient bezeichnet. Der x 1 {\Anzeigestil x_{1}} $x_{1}$ kommt nun näher an x 0 {\Anzeigestil x_{0}}} $x_{0}$ . Dies kann mit der folgenden Formel ausgedrückt werden:

f ′ ( x ) = lim x → x 0 f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 {\darstellungsstil f'(x)=\lim _{x\rechtspfeil x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}} $f'(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ .

Das Ergebnis wird Ableitung oder Steigung von f am Punkt x {\darstellungsstil {x}} genannt ${x}$ .

Integration

Bei der Integration geht es um die Berechnung von Flächen.

Das Symbol ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$

wird als "das Integral von f, von a bis b" gelesen und bezieht sich auf die Fläche zwischen der x-Achse, dem Graphen der Funktion f und den Linien x=a und x=b. Der a {\Darstellungsstil a} ist der Punkt, an dem die Fläche beginnen sollte, und der b {\Darstellungsstil b} $b$ der Punkt, an dem die Fläche endet.

Fragen und Antworten

F: Was ist mathematische Analyse?

A: Die mathematische Analyse ist ein Teil der Mathematik, der sich mit Funktionen, Sequenzen und Reihen befasst. Sie bietet eine strenge logische Grundlage für die Infinitesimalrechnung, die kontinuierliche Funktionen, Differenzierung und Integration untersucht.

F: Was sind einige wichtige Teilgebiete der mathematischen Analyse?

A: Zu den wichtigsten Teilgebieten der mathematischen Analyse gehören die reelle Analyse, die komplexe Analyse, die Differentialgleichung und die funktionelle Analyse.

F: Wie kann die mathematische Analyse in der Technik eingesetzt werden?

A: Die mathematische Analyse kann in der Technik eingesetzt werden, indem man die nützlichen Eigenschaften und Merkmale von Funktionen, Sequenzen und Reihen untersucht.

F: Wer hat die meisten Grundlagen für die mathematische Analyse entwickelt?

A: Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton haben die meisten Grundlagen für die mathematische Analyse entwickelt.

F: Wie lautete der alte Name für die mathematische Analyse?

A: Der alte Name für die mathematische Analyse war "Infinitesimal" oder "Kalkül".

F: Was hat die Infinitesimalrechnung mit der mathematischen Analyse zu tun?

A: Die Infinitesimalrechnung befasst sich mit kontinuierlichen Funktionen, Differenzierung und Integration, die alle mit dem Bereich der Mathematik zusammenhängen, der als Mathematische Analyse bekannt ist.