Harmonische Reihe (Mathematik) – Definition, Divergenz & Erklärung

Die Tatsache, dass die harmonische Reihe auseinanderklafft, wurde erstmals im 14. Jahrhundert von Nicole Oresme nachgewiesen, wurde aber vergessen. Beweise wurden im 17. Jahrhundert von Pietro Mengoli, Johann Bernoulli und Jacob Bernoulli erbracht.

Harmonische Sequenzen wurden von Architekten verwendet. In der Barockzeit verwendeten Architekten sie in den Proportionen von Grundrissen, Ansichten und in den Beziehungen zwischen architektonischen Details von Kirchen und Palästen.

Es gibt mehrere bekannte Beweise für die Divergenz der harmonischen Reihe. Einige von ihnen werden nachstehend aufgeführt.

Vergleichstest

Eine Möglichkeit, die Divergenz zu beweisen, besteht darin, die harmonische Reihe mit einer anderen divergenten Reihe zu vergleichen, wobei jeder Nenner durch die nächstgrößte Zweierpotenz ersetzt wird:

1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + 1 9 + ⋯ ≥ 1 + 1 2 + 1 4 + 1 4 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 16 + ⋯ {\Anzeigestil {\beginnt {\ausgerichtet}&{}1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}}+{\frac {1}{7}}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+\cdots \\\[12pt]\geq {}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\farbig {rot}{\mathbf {4} {}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{\farbig {rot}{\mathbf {8} {1}+{\frac {1}{\farbig {rot}{\mathbf {8} {1}+{\frac {1}{\farbig {rot}{\mathbf {8} {}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{\farbig {rot}{\mathbf {16} {\cdots \end{aligned}}

Jeder Term der harmonischen Reihe ist größer oder gleich dem entsprechenden Term der zweiten Reihe, und daher muss die Summe der harmonischen Reihe größer oder gleich der Summe der zweiten Reihe sein. Die Summe der zweiten Reihe ist jedoch unendlich:

1 + ( 1 2 ) + ( 1 4 + 1 4 ) + ( 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ) + ( 1 16 + ⋯ + 1 16 ) + ⋯ = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯ = ∞ {\Anzeigestil {\begin{ausgerichtet}&{}1+\links({\frac {1}{2}}}\rechts)+\links({\frac {1}{4}}\!+\!{\frac {1}}Richtig)+\links({\frac {\an8}\}\!+\!{\frac {1}frac {8}\}\!+\!{\frac {1}{8}\}}rechts)+\links({\frac {1}{16}\}\!+\!{\ccdots \!+\!{\frac {1}{16}\right} +\cdots \\[12pt]={}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}}+{\frac {1}{2}}}+{\frac {1}{2}}}+\cdots =\infty \end{aligned}}}

Daraus folgt (durch den Vergleichstest), dass auch die Summe der harmonischen Reihen unendlich sein muss. Genauer gesagt beweist der obige Vergleich, dass

∑ n = 1 2 k 1 n ≥ 1 + k 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{2^{k}}{\frac {1}{n}}\geq 1+{\frac {k}{2}}}}

für jede positive ganze Zahl k.

Dieser Beweis, der von Nicole Oresme um 1350 vorgeschlagen wurde, gilt als ein Höhepunkt der mittelalterlichen Mathematik. Er ist auch heute noch ein Standardbeweis, der im Mathematikunterricht gelehrt wird.

Integraler Test

Es ist möglich, die Divergenz der harmonischen Reihe zu beweisen, indem man ihre Summe mit einem ungeeigneten Integral vergleicht. Betrachten Sie die in der Abbildung rechts dargestellte Anordnung der Rechtecke. Jedes Rechteck ist 1 Einheit breit und 1/n Einheit hoch, so dass die Gesamtfläche der unendlichen Anzahl von Rechtecken die Summe der harmonischen Reihe ist:

Fläche der Rechtecke = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{c}{\text{\fläche}}\\\{\text{{\rechtecke}}\end{array}}=1+{\frac {1}{2}}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}}+{\frac {1}{5}}+\cdots }

Die Gesamtfläche unter der Kurve y = 1/x von 1 bis unendlich ist durch ein divergierendes unzulässiges Integral gegeben:

Fläche unter der Kurve = ∫ 1 ∞ 1 x d x = ∞ . {\Anzeigestil {\Beginn{Array}{c}{\Text{\Fläche unter}\\{\Text{Kurve}}\Ende{Array}}}=\int _{1}^{\einzigartig }{\frac {1}{x}}}\,dx=\einzigartig . }

Da dieser Bereich vollständig in den Rechtecken enthalten ist, muss auch die Gesamtfläche der Rechtecke unendlich groß sein. Dies beweist, dass

∑ n = 1 k 1 n > ∫ 1 k + 1 1 x d x = ln ( k + 1 ) . {\darstellungsstil \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n}}}>\int _{1}^{k+1}{\frac {1}{x}}}\,dx=\ln(k+1). }

Die Verallgemeinerung dieses Arguments wird als Integraltest bezeichnet.

Die harmonische Reihe divergiert sehr langsam. Zum Beispiel ist die Summe der ersten ¹⁰⁴³ Terme weniger als 100. Das liegt daran, dass die Teilsummen der Reihe ein logarithmisches Wachstum aufweisen. Insbesondere

∑ n = 1 k 1 n = ln k + γ + ε k ≤ ( ln k ) + 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n}}=\ln k+\gamma +\varepsilon _{k}\leq (\ln k)+1}

wobei γ die Euler-Mascheroni-Konstante ist und _εk ~ 1/2k, die sich 0 nähert, da k unendlich wird. Leonhard Euler bewies sowohl dies als auch, dass die Summe, die nur die Kehrwerte der Primzahlen enthält, ebenfalls divergiert, d.h. auseinandergeht:

∑ p prime 1 p = 1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 11 + 1 13 + 1 17 + ⋯ = ∞ . {\displaystyle \sum _{p{\text{ prime }}}{\frac {1}{p}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}}+{\frac {1}{5}}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+\cdots =\infty . }

Die endlichen Teilsummen der divergierenden harmonischen Reihen,

H n n = ∑ k = 1 n 1 k , {\darstellungsstil H_{n}=\summe _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}

werden harmonische Zahlen genannt.

Die Differenz zwischen Hn und ln n nähert sich der Euler-Mascheroni-Konstante an. Die Differenz zwischen zwei beliebigen harmonischen Zahlen ist niemals eine ganze Zahl. Keine harmonischen Zahlen sind ganze Zahlen, mit Ausnahme von H1 = 1.

Wechselnde harmonische Reihe

Die Reihe

∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{{n+1}}}{n}}}=1-{\frac {1}{2}}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots }

ist bekannt als die alternierende harmonische Reihe. Diese Reihe konvergiert durch den Test der alternierenden Reihe. Insbesondere ist die Summe gleich dem natürlichen Logarithmus von 2:

1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - ⋯ = ln 2. {\Anzeigestil 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.}

Die alternierende harmonische Reihe ist zwar bedingt konvergent, aber nicht absolut konvergent: Wenn die Terme in der Reihe systematisch neu geordnet werden, wird die Summe im Allgemeinen unterschiedlich und, abhängig von der Neuordnung, möglicherweise sogar unendlich.

Die Formel der alternierenden harmonischen Reihen ist ein Spezialfall der Mercator-Reihe, die Taylor-Reihe für den natürlichen Logarithmus.

Eine verwandte Reihe kann aus der Taylor-Reihe für den Arkustangens abgeleitet werden:

∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n 2 n + 1 = 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7 + ⋯ = π 4 . {\darstellungsstil \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}=1-{\frac {1}{3}}}+{\frac {1}{5}}}-{\frac {1}{7}}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}. }

Dies ist als die Leibniz-Reihe bekannt.

Allgemeine harmonische Reihe

Die allgemeine harmonische Reihe hat die Form

∑ n = 0 ∞ 1 a n + b , {\darstellungsstil \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{an+b}},}

wobei a ≠ 0 und b reelle Zahlen sind, und b/a nicht Null oder eine negative ganze Zahl ist.

Durch den Grenzwertvergleichstest mit den harmonischen Reihen divergieren auch alle allgemeinen harmonischen Reihen.

p-Reihe

Eine Verallgemeinerung der harmonischen Reihe ist die p-Reihe (oder hyperharmonische Reihe), definiert als

∑ n = 1 ∞ 1 n p {\darstellungsstil \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}

für eine beliebige reelle Zahl p. Wenn p = 1 ist, ist die p-Reihe die harmonische Reihe, die divergiert. Entweder der Integraltest oder der Cauchy-Kondensationstest zeigt, dass die p-Reihe für alle p > 1 konvergiert (in diesem Fall nennt man sie die überharmonische Reihe) und für alle p divergiert ≤ 1. Wenn p > 1, dann ist die Summe der p-Reihe ζ(p), d.h. die Riemannsche Zeta-Funktion, die bei p ausgewertet wird.

Das Problem, die Summe für p = 2 zu finden, wird das Baseler Problem genannt; Leonhard Euler zeigte, dass es sich um ^π2/6 handelt. Der Wert der Summe für p = 3 wird als Apéry-Konstante bezeichnet, da Roger Apéry bewiesen hat, dass es sich um eine irrationale Zahl handelt.

ln-Reihe

Mit der p-Reihe verwandt ist die ln-Reihe, definiert als

∑ n = 2 ∞ 1 n ( ln n ) p {\darstellungsstil \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(\ln n)^{p}}}}

für jede positive reelle Zahl p. Dies kann durch den Integraltest gezeigt werden, der für p ≤ 1 divergiert, aber für alle p > 1 konvergiert.

φ-Reihe

Für jede konvexe, reellwertige Funktion φ, so dass

lim sup u → 0 + φ ( u 2 ) φ ( u ) < 1 2 , {\displaystyle \limsup _{u\to 0^{+}}{\frac {\varphi \left({\frac {u}{2}}\right)}{\varphi (u)}}<{\frac {1}{2}},}

die Reihe

∑ n = 1 ∞ φ ( 1 n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varphi \left({\frac {1}{n}}\right)}

ist konvergent. ^[]

Zufällige harmonische Reihe

Die zufällige harmonische Reihe

∑ n = 1 ∞ s n n , {\darstellungsstil \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}},}

wobei die _sn unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen sind, die die Werte +1 und -1 mit gleicher Wahrscheinlichkeit 1/2 annehmen, ist ein bekanntes Beispiel in der Wahrscheinlichkeitstheorie für eine Reihe von Zufallsvariablen, die mit der Wahrscheinlichkeit 1 konvergiert. Die Tatsache dieser Konvergenz ist eine einfache Folge entweder des Kolmogorov-Drei-Serien-Satzes oder der eng verwandten Kolmogorov-Maximalungleichheit. Byron Schmuland von der University of Alberta untersuchte die Eigenschaften der harmonischen Zufallsreihen weiter und zeigte, dass die konvergente Reihe eine Zufallsvariable mit einigen interessanten Eigenschaften ist. Insbesondere nimmt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion dieser Zufallsvariablen, die bei +2 oder bei -2 bewertet wird, den Wert 0,1249999999999999999999999999999999999999999999764... an, wobei sie sich von 1/8 um weniger als 10-42 unterscheidet. Schmulands Beitrag erklärt, warum diese Wahrscheinlichkeit so nahe bei, aber nicht genau bei 1/8 liegt. Der genaue Wert dieser Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus dem unendlichen Kosinusproduktintegral _C2 dividiert durch π.

Verarmte harmonische Reihen

Die verarmte harmonische Reihe, bei der alle Terme, in denen die Ziffer 9 irgendwo im Nenner vorkommt, entfernt sind, kann als konvergent dargestellt werden und ihr Wert ist kleiner als 80. Tatsächlich konvergiert die Reihe, wenn alle Terme, die eine bestimmte Ziffernfolge (in einer beliebigen Basis) enthalten, entfernt werden.

Die harmonische Reihe kann kontraintuitiv sein. Das liegt daran, dass es sich um eine divergierende Reihe handelt, auch wenn die Terme der Reihe kleiner werden und gegen Null gehen. Die Divergenz der harmonischen Reihe ist die Quelle einiger Paradoxa.

• Der "Wurm auf dem Gummiband". Angenommen, ein Wurm krabbelt an einem unendlich elastischen Ein-Meter-Gummiband entlang, während das Gummiband gleichzeitig gleichmäßig gedehnt wird. Wenn sich der Wurm 1 Zentimeter pro Minute fortbewegt und sich das Band 1 Meter pro Minute dehnt, wird der Wurm dann jemals das Ende des Gummibandes erreichen? Die kontraintuitive Antwort lautet "ja", denn nach n Minuten ist das Verhältnis zwischen der von der Schnecke zurückgelegten Strecke und der Gesamtlänge des Gummibandes

1 100 ∑ k = 1 n 1 k . {\Anzeigestil {\frac {1}{100}}\summe _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}. }

Da die Reihe beliebig groß wird, wenn n größer wird, muss dieses Verhältnis schließlich über 1 liegen, was bedeutet, dass die Schnecke das Ende des Gummibandes erreicht. Der Wert von n, bei dem dies geschieht, muss jedoch extrem groß sein: ungefähr e100, eine Zahl, die ¹⁰⁴³ Minuten (¹⁰³⁷ Jahre) überschreitet. Die harmonische Reihe divergiert zwar, aber nur sehr langsam.

• Das Jeep-Problem fragt, wie viel Treibstoff ein Auto mit begrenzter Treibstoffkapazität insgesamt benötigt, um eine Wüste zu durchqueren und dabei Treibstofftropfen entlang der Route zurückzulassen. Die Strecke, die das Auto mit einer bestimmten Kraftstoffmenge zurücklegen kann, hängt von den Teilsummen der harmonischen Reihe ab, die logarithmisch wachsen. Der Treibstoffbedarf steigt also mit der gewünschten Distanz exponentiell an.

• Das Problem des Blockstapelns: Bei einer Ansammlung von identischen Dominosteinen ist es möglich, sie an der Tischkante so zu stapeln, dass sie über die Tischkante hängen, ohne herunterzufallen. Das kontraintuitive Ergebnis ist, dass sie so gestapelt werden können, dass der Überhang so groß ist, wie man möchte. Das heißt, vorausgesetzt, es sind genügend Dominosteine vorhanden.

• Ein Schwimmer, der jedes Mal schneller schwimmt, wenn er die Beckenwand berührt. Der Schwimmer beginnt ein 10-Meter-Becken mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s zu durchqueren, und bei jeder Überquerung werden der Geschwindigkeit weitere 2 m/s hinzugefügt. Theoretisch ist die Geschwindigkeit des Schwimmers unbegrenzt, aber die Anzahl der Beckenüberquerungen, die erforderlich sind, um diese Geschwindigkeit zu erreichen, wird sehr groß; um beispielsweise die Lichtgeschwindigkeit zu erreichen (ohne Berücksichtigung der speziellen Relativitätstheorie), muss der Schwimmer das Becken 150 Millionen Mal überqueren. Im Gegensatz zu dieser großen Zahl hängt die Zeit, die benötigt wird, um eine bestimmte Geschwindigkeit zu erreichen, von der Summe der Serien bei einer bestimmten Anzahl von Beckenkreuzungen ab:

10 2 ∑ k = 1 n 1 k . {\darstellungsstil {\frac {10}{2}}\summe _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}. }

Die Berechnung der Summe zeigt, dass die Zeit, die benötigt wird, um zur Lichtgeschwindigkeit zu gelangen, nur 97 Sekunden beträgt.

• Harmonische Progression
• Liste der Summen der Reziproken